Вычисли периметр и площадь ромба, если ∠KNM = 60° и МО = 1 м, а радиус вписанной окружности равен 0,87 м.

Решение:

Дан ромб MKLN, в который вписана окружность. Известно, что \( \angle KNM = 60^{\circ} \) и \( MO = 1 \) м. Радиус вписанной окружности \( r = 0.87 \) м.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому \( KO = OL = MO = ON \) и \( MK = KN = NL = LM \). В данном случае \( MO = 1 \) м, а \( r = 0.87 \) м.

В ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Так как \( \angle KNM = 60^{\circ} \), то \( \angle KNL = 60^{\circ} \).

Диагональ \( KN \) делит угол \( \angle KNM \) пополам, поэтому \( \angle KNO = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle MON \). В нем \( \angle MON = 90^{\circ} \), \( \angle MNO = 30^{\circ} \).

Найдем длину стороны ромба \( MN \):

\( \frac{MO}{MN} = \tan(\angle MNO) \)

\( \frac{1}{MN} = \tan(30^{\circ}) \)

\( MN = \frac{1}{\tan(30^{\circ})} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) м.

Периметр ромба \( P \) равен:

\( P = 4 \cdot MN = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.732 \approx 6.928 \) м.

Площадь ромба \( S \) через диагонали:

\( S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NL \)

Найдём \( MK \) и \( NL \):

\( MK = 2 \cdot MO = 2 \cdot 1 = 2 \) м.

В \( \triangle MON \), \( ON = MO / \tan(30^{\circ}) = 1 / (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3} \) м.

\( NL = 2 \cdot ON = 2 \cdot \sqrt{3} \) м.

\( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 \approx 3.464 \) м².

Ответ: P = 6,93 м; S = 3,46 м².