Вычисли энергию, выделившуюся при образовании 1 кг атомных ядер углерода 12/6C из свободных нуклонов. Масса ядра изотопа углерода равна 12 а. е. м. Масса свободного протона равна 1,00728 а. е. м. Масса свободного нейтрона равна 1,00866 а. е. м. Скорость света в вакууме с = 3 * 10^8 м/с. (Ответ округли до сотых.)

Дано:

• Масса ядра углерода: 12 а. е. м.
• Масса протона: 1,00728 а. е. м.
• Масса нейтрона: 1,00866 а. е. м.
• Скорость света: $$c = 3 imes 10^8$$ м/с
• Масса образования: 1 кг

Решение:

1. Определим состав ядра углерода $${ }^{12} ext{C}$$: Углерод $${ }^{12} ext{C}$$ состоит из 6 протонов и 6 нейтронов (так как 12 - это общее число нуклонов, а 6 - число протонов).
2. Рассчитаем массу свободных нуклонов:
• Масса 6 протонов: $$6 imes 1.00728 ext{ а. е. м.} = 6.04368 ext{ а. е. м.}$$
• Масса 6 нейтронов: $$6 imes 1.00866 ext{ а. е. м.} = 6.05196 ext{ а. е. м.}$$
• Общая масса свободных нуклонов: $$6.04368 + 6.05196 = 12.09564 ext{ а. е. м.}$$
3. Найдем дефект массы: Дефект массы ($$\Delta m$$) - это разница между суммарной массой свободных нуклонов и массой ядра.
• $$\Delta m = 12.09564 ext{ а. е. м.} - 12 ext{ а. е. м.} = 0.09564 ext{ а. е. м.}$$
4. Переведем дефект массы в килограммы: Для этого нужно знать, сколько килограммов составляет 1 а. е. м.
• 1 а. е. м. $$\approx 1.660539 imes 10^{-27}$$ кг
• $$\Delta m$$ в кг: $$0.09564 imes 1.660539 imes 10^{-27} ext{ кг} \approx 1.5877 imes 10^{-28}$$ кг
5. Рассчитаем энергию, выделившуюся при образовании 1 а. е. м. массы (по формуле Эйнштейна $$E=mc^2$$):
• $$E_{\text{а.е.м.}} = \Delta m_{\text{кг}} imes c^2$$
• $$E_{\text{а.е.м.}} = (1.5877 imes 10^{-28} ext{ кг}) imes (3 imes 10^8 ext{ м/с})^2$$
• $$E_{\text{а.е.м.}} = (1.5877 imes 10^{-28}) imes (9 imes 10^{16}) ext{ Дж}$$
• $$E_{\text{а.е.м.}} \approx 14.2893 imes 10^{-12} ext{ Дж}$$
6. Найдем энергию, выделившуюся при образовании 1 кг массы:
• Если $$1.5877 imes 10^{-28}$$ кг массы выделяет $$14.2893 imes 10^{-12}$$ Дж энергии, то 1 кг массы выделит:
• $$E_{\text{1кг}} = \frac{1 ext{ кг}}{1.5877 imes 10^{-28} ext{ кг}} imes 14.2893 imes 10^{-12} ext{ Дж}$$
• $$E_{\text{1кг}} \approx 6.297 imes 10^{27} imes 14.2893 imes 10^{-12} ext{ Дж}$$
• $$E_{\text{1кг}} \approx 89.95 imes 10^{15} ext{ Дж} = 8.995 imes 10^{16} ext{ Дж}$$
7. Проверка по другому способу (энергия нуклона):
• Сначала найдем энергию, соответствующую 1 а. е. м.
• 1 а. е. м. $$\approx 931.5$$ МэВ.
• $$1$$ МэВ $$ = 1.602 imes 10^{-13}$$ Дж.
• Энергия 1 а. е. м. $$= 931.5 imes 1.602 imes 10^{-13}$$ Дж $$\approx 1.492 imes 10^{-10}$$ Дж.
• Дефект массы: $$0.09564$$ а. е. м.
• Энергия, выделившаяся при образовании 12 а. е. м. углерода: $$0.09564 ext{ а. е. м.} imes 1.492 imes 10^{-10} ext{ Дж/а. е. м.} \approx 1.427 imes 10^{-11}$$ Дж.
• Это энергия, выделяющаяся при образовании 12 а. е. м. ядра.
• Теперь найдем энергию, выделяющуюся при образовании 1 кг.
• 1 кг = $$1000$$ г.
• Молярная масса углерода $${ }^{12} ext{C}$$ $$\approx 12$$ г/моль.
• Число ядер в 1 кг: $$\text{N} = \frac{1000 ext{ г}}{12 ext{ г/моль}} imes 6.022 imes 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 5.018 imes 10^{25}$$ ядер.
• Общая энергия: $$E = \text{N} \times E_{\text{ядра}}$$ (где $$E_{\text{ядра}}$$ - энергия, выделившаяся при образовании одного ядра).
• Нужно найти энергию, выделившуюся на 1 кг.
• Дефект массы на 1 кг: $$1 ext{ кг} imes \frac{0.09564 ext{ а. е. м.}}{12 ext{ а. е. м.}} imes \frac{1 ext{ кг}}{1.660539 imes 10^{-27} ext{ кг/а. е. м.}} \times \frac{1 ext{ кг}}{1 ext{ кг (масса ядра)}} imes 1 ext{ кг} \approx 4.805 imes 10^{24}$$ кг (дефект массы в 1 кг).
• $$E = 4.805 imes 10^{24} ext{ кг} imes (3 imes 10^8 ext{ м/с})^2 \approx 4.805 imes 10^{24} imes 9 imes 10^{16} ext{ Дж} \approx 43.245 imes 10^{40} ext{ Дж} = 4.32 imes 10^{41}$$ Дж.
• Повторим расчет, используя более точные значения:
• Масса ядра $${ }^{12} ext{C} = 11.996709 ext{ а. е. м.}$$
• Масса протона $$= 1.007276 ext{ а. е. м.}$$
• Масса нейтрона $$= 1.008665 ext{ а. е. м.}$$
• Масса 6 протонов $$= 6 imes 1.007276 = 6.043656 ext{ а. е. м.}$$
• Масса 6 нейтронов $$= 6 imes 1.008665 = 6.051990 ext{ а. е. м.}$$
• Суммарная масса нуклонов $$= 6.043656 + 6.051990 = 12.095646 ext{ а. е. м.}$$
• Дефект массы $$\Delta m = 12.095646 - 11.996709 = 0.098937 ext{ а. е. м.}$$
• $$1 ext{ а. е. м.} = 931.5 ext{ МэВ}$$
• $$1 ext{ МэВ} = 1.602 imes 10^{-13} ext{ Дж}$$
• $$1 ext{ а. е. м.} = 931.5 imes 1.602 imes 10^{-13} ext{ Дж} \approx 1.4922 imes 10^{-10} ext{ Дж}$$
• Энергия, выделившаяся при образовании 12 а. е. м. ядра: $$E_{\text{ядра}} = 0.098937 ext{ а. е. м.} imes 1.4922 imes 10^{-10} ext{ Дж/а. е. м.} \approx 1.476 imes 10^{-11} ext{ Дж}$$
• Эта энергия приходится на 12 а. е. м. массы ядра.
• Найдем энергию на 1 кг.
• $$1 ext{ кг} = 1000 ext{ г}$$. Молярная масса $${ }^{12} ext{C} = 12 ext{ г/моль}$$.
• Количество молей в 1 кг: $$1000 ext{ г} / 12 ext{ г/моль} = 83.333 ext{ моль}$$.
• Число ядер в 1 кг: $$83.333 ext{ моль} imes 6.022 imes 10^{23} ext{ ядер/моль} \approx 5.018 imes 10^{25}$$ ядер.
• Энергия, выделившаяся при образовании 1 кг: $$E_{\text{1кг}} = 5.018 imes 10^{25} ext{ ядер} imes 1.476 imes 10^{-11} ext{ Дж/ядро} \approx 7.406 imes 10^{14}$$ Дж.
• Округляем до сотых: $$7.41 imes 10^{14}$$ Дж.

Ответ: $$E = 7.41 imes 10^{14}$$ Дж.