Вычисли АС, если CD = 18 см и ∠ DOA = 120°.

Решение:

Вписанный угол \( \angle DBA \) опирается на дугу \( DA \). Центральный угол \( \angle DOA \) также опирается на дугу \( DA \). Следовательно, дуга \( DA = 120^{\circ} \).

Хорда \( CD \) равна 18 см. Дуга \( CD \) равна 180° (так как \( CD \) — диаметр).

Дуга \( CA = \text{дуга } CD - \text{дуга } DA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle CBA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CA \). Поэтому \( \angle CBA = \frac{1}{2} \text{ дуга } CA = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle ADC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \), которая равна 60°. Поэтому \( \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ○ DA \). Он равнобедренный, так как \( OD = OA \) (радиусы). Угол \( ○ DOA = 120^{\circ} \). Углы при основании \( ○ OAD = ○ ODA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ○ CDA \). \( ○ CD = 18 \) см. Угол \( ○ ADC = 30^{\circ} \), угол \( ○ ACD = 90^{\circ} \) (так как опирается на диаметр \( CD \)).

В прямоугольном треугольнике \( ○ CDA \):

\( AC = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 18 \cdot \sin(30^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.

Ответ: 9 см.