Вычисли: 10\frac{7}{15} - (3-1\frac{7}{9}): \frac{7}{15} + \frac{5}{9}.

Выполним действия по порядку.

1) 3-1\frac{7}{9}

Чтобы из целого числа вычесть смешанное, представим целое число в виде неправильной дроби, у которой числитель и знаменатель одинаковые. Знаменатель выберем такой же, как у дробной части вычитаемого.

$$3=2+\frac{9}{9}$$

$$3-1\frac{7}{9}=2\frac{9}{9}-1\frac{7}{9}=(2-1)+(\frac{9}{9}-\frac{7}{9})=1+\frac{2}{9}=1\frac{2}{9}$$

2) $$1\frac{2}{9}:\frac{7}{15}$$

Чтобы разделить смешанную дробь на обыкновенную, нужно смешанную дробь представить в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножим на знаменатель и прибавим числитель. Полученное число запишем в числитель, а знаменатель оставим прежним.

$$1\frac{2}{9}=\frac{1 \cdot 9 + 2}{9}=\frac{11}{9}$$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

$$\frac{11}{9}:\frac{7}{15}=\frac{11}{9} \cdot \frac{15}{7}$$

Сократим 9 и 15 на 3.

$$\frac{11}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{7}=\frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 7}=\frac{55}{21}$$

Выделим целую часть

$$\frac{55}{21}=2\frac{13}{21}$$

3) $$10\frac{7}{15}-2\frac{13}{21}$$

Приведем дробные части к общему знаменателю.

15 = 3 \cdot 5

21 = 3 \cdot 7

НОК (15, 21) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а второй - на 5.

$$10\frac{7}{15}-2\frac{13}{21}=10\frac{7 \cdot 7}{15 \cdot 7}-2\frac{13 \cdot 5}{21 \cdot 5}=10\frac{49}{105}-2\frac{65}{105}$$

Так как 49 < 65, то нужно занять единицу из целой части

$$10\frac{49}{105}=9 + 1 + \frac{49}{105}=9 + \frac{105}{105} + \frac{49}{105}=9\frac{105+49}{105}=9\frac{154}{105}$$

$$10\frac{7}{15}-2\frac{13}{21}=9\frac{154}{105}-2\frac{65}{105}=(9-2)+(\frac{154}{105}-\frac{65}{105})=7+\frac{154-65}{105}=7+\frac{89}{105}=7\frac{89}{105}$$

4) $$7\frac{89}{105} + \frac{5}{9}$$

Приведем дробные части к общему знаменателю.

НОК (105, 9) = 315

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй - на 35.

$$7\frac{89}{105} + \frac{5}{9}=7\frac{89 \cdot 3}{105 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 35}{9 \cdot 35}=7\frac{267}{315} + \frac{175}{315}=7+\frac{267+175}{315}=7+\frac{442}{315}=7+1\frac{127}{315}=8\frac{127}{315}$$

Ответ: 8\frac{127}{315}