Выберите правильный ответ: Оба корня уравнения x²-ax+2=0 лежат на интервале (0;3) при всех значениях параметра а, принадлежащих интервалу [M;N), когда М равно ____ , N равно ____ .

Решение:

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения \( x^2 - ax + 2 = 0 \) лежали на интервале \( (0;3) \), должны выполняться следующие условия:

1. Дискриминант \( D \) должен быть неотрицательным: \( D = (-a)^2 - 4 · 1 · 2 = a^2 - 8 \). \( D ≥ 0 → a^2 ≥ 8 \), что означает \( a ≤ -\sqrt{8} \) или \( a ≥ \sqrt{8} \).
2. Сумма корней \( x_1 + x_2 \) должна быть в пределах \( (0; 6) \): \( x_1 + x_2 = a \). Следовательно, \( 0 < a < 6 \).
3. Произведение корней \( x_1 · x_2 \) должно быть в пределах \( (0; 9) \): \( x_1 · x_2 = 2 \). Условие \( 0 < 2 < 9 \) выполняется.

Теперь объединим условия:

Из \( a^2 ≥ 8 \) и \( a ≥ \sqrt{8} \) (поскольку \( a \) должно быть положительным из условия \( 0 < a < 6 \)), получаем \( a ≥ \sqrt{8} \) (приблизительно \( a ≥ 2.828 \)).

Из условия \( 0 < a < 6 \).

Объединяя \( a ≥ \sqrt{8} \) и \( 0 < a < 6 \), получаем, что \( a \) принадлежит интервалу \( [\sqrt{8}; 6) \).

Таким образом, \( M = \sqrt{8} \) и \( N = 6 \).

\( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)