Выберите правильный ответ: \(\frac{2}{5}y^3\sqrt{35y^4}\)

Решение:

Чтобы выбрать правильный ответ, упростим данное выражение:

\(\frac{2}{5}y^3\sqrt{35y^4} = \frac{2}{5}y^3\sqrt{5 \cdot 7 \cdot y^4}\)

Вынесем множители из-под корня, где это возможно:

\(y^4 = (y^2)^2\), значит \(\sqrt{y^4} = y^2\).

\(\frac{2}{5}y^3 \cdot y^2 \sqrt{35}\)

Теперь умножим степени с одинаковым основанием:

\(y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5\)

Получаем:

\(\frac{2}{5}y^5\sqrt{35}\)

Теперь сравним это с предложенными вариантами. Видно, что ни один из вариантов напрямую не совпадает. Давайте пересмотрим условие и варианты. Возможно, нужно возвести \(\frac{2}{5}y^3\) под корень.

\(\frac{2}{5}y^3\sqrt{35y^4} = \sqrt{\left(\frac{2}{5}y^3\right)^2 \cdot 35y^4}\)

\(\left(\frac{2}{5}y^3\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} (y^3)^2 = \frac{4}{25} y^{3\cdot2} = \frac{4}{25} y^6\)

Теперь подставим это обратно под корень:

\(\sqrt{\frac{4}{25} y^6 \cdot 35y^4} = \sqrt{\frac{4 \cdot 35}{25} y^{6+4}}\)

Упростим дробь \(\frac{4 35}{25}\). Можно сократить 35 и 25 на 5:

\(\frac{4 (5 7)}{5 5} = \frac{4 7}{5} = \frac{28}{5}\)

Степени \(y^6 \cdot y^4 = y^{6+4} = y^{10}\)

Получаем:

\(\sqrt{\frac{28}{5} y^{10}}\)

Этот вариант присутствует среди ответов.

Ответ: \(\sqrt{\frac{28y^{10}}{5}}\).