Выбери все варианты ответа, в которых указан эйлеров путь для графа, изображённого на рисунке.

Решение:

Эйлеров путь — это путь в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз. Чтобы определить, существует ли эйлеров путь, нужно проверить степени вершин графа.

Степень вершины — это количество рёбер, выходящих из неё.

В данном графе:

• Степень вершины A: 2 (рёбра AB, AN)
• Степень вершины B: 3 (рёбра BA, BN, BC)
• Степень вершины N: 3 (рёбра NA, NB, NC)
• Степень вершины C: 2 (рёбра CB, CN)

Граф имеет два ребра, где степень вершины нечётная (B и N). Следовательно, в графе существует эйлеров путь, который начинается в одной из вершин с нечётной степенью и заканчивается в другой.

Рассмотрим предложенные варианты:

1. N—A—B—C—N—B: Этот путь использует рёбра NB, BA, AB, BC, CN, NB. Ребро NB используется дважды, что недопустимо для эйлерова пути.
2. A—N—C—B—N: Этот путь использует рёбра AN, NC, CB, BN. Все рёбра используются ровно один раз. Путь начинается в вершине A (степень 2) и заканчивается в вершине N (степень 3). Этот путь не является эйлеровым, так как не начинается и не заканчивается в вершинах с нечётной степенью, а также не проходит по всем рёбрам.
3. N—C—B—A—N—B: Этот путь использует рёбра NC, CB, BA, AN, NB. Все рёбра использованы ровно один раз. Путь начинается в вершине N (нечётная степень) и заканчивается в вершине B (нечётная степень). Это эйлеров путь.
4. C—B—N—C—B—A: Этот путь использует рёбра CB, BN, NC, CN, NB, BA. Ребро CN используется дважды, что недопустимо.

Проверим вариант A—N—C—B—N ещё раз. Граф имеет рёбра: AB, AN, BN, BC, CN. Всего 5 рёбер.

Путь A—N—C—B—N проходит по рёбрам: AN, NC, CB, BN. Использованы 4 ребра. Ребро AB не использовано. Этот путь не эйлеров.

Проверим правильный вариант N—C—B—A—N—B. Путь проходит по рёбрам: NC, CB, BA, AN, NB. Всего 5 рёбер. Все рёбра использованы по одному разу. Путь начинается в N и заканчивается в B. Это эйлеров путь.

Проверим ещё раз степени вершин: A (2), B (3), N (3), C (2). У нас есть две вершины с нечетной степенью (B и N). Следовательно, эйлеров путь существует и должен начинаться в одной из них и заканчиваться в другой.

Проверим варианты:

1. N—A—B—C—N—B: рёбра (N,A), (A,B), (B,C), (C,N), (N,B). Все 5 рёбер использованы. Путь начинается в N, заканчивается в B. Верно.
2. A—N—C—B—N: рёбра (A,N), (N,C), (C,B), (B,N). Использованы 4 ребра. Ребро (A,B) не использовано. Неверно.
3. N—C—B—A—N—B: рёбра (N,C), (C,B), (B,A), (A,N), (N,B). Все 5 рёбер использованы. Путь начинается в N, заканчивается в B. Верно.
4. C—B—N—C—B—A: рёбра (C,B), (B,N), (N,C), (C,B), (B,A). Ребро (C,B) использовано дважды. Неверно.

Вывод:

Эйлеров путь существует, так как в графе ровно две вершины с нечётной степенью (B и N). Путь должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой, проходя по каждому ребру ровно один раз.

1. N—A—B—C—N—B: Проходит по всем рёбрам ровно один раз, начинается в N, заканчивается в B. Это эйлеров путь.
2. N—C—B—A—N—B: Проходит по всем рёбрам ровно один раз, начинается в N, заканчивается в B. Это эйлеров путь.

Ответ: N—A—B—C—N—B, N—C—B—A—N—B