Вставьте пропущенное слово: Оба корня уравнения x² - 6ax + 2 - 2a + 9a² = 0 больше трёх при всех значениях параметра а, принадлежащих множеству

Решение:

Запишем условие задачи:

Уравнение \( x^2 - 6ax + 2 - 2a + 9a^2 = 0 \).

Оба корня уравнения должны быть больше трёх.

Для выполнения этого условия необходимо выполнить три условия:

1. Дискриминант должен быть неотрицательным: \( D \ge 0 \).
2. Значение функции \( f(3) \) должно быть положительным.
3. Вершина параболы \( x_в \) должна быть больше трёх.

Найдем дискриминант:

\[ D = ( -6a )^2 - 4 \cdot 1 \cdot ( 2 - 2a + 9a^2 ) = 36a^2 - 8 + 8a - 36a^2 = 8a - 8 \]

Условие \( D \ge 0 \):

\[ 8a - 8 \ge 0 \implies 8a \ge 8 \implies a \ge 1 \]

Найдем значение функции \( f(3) \):

\[ f(3) = 3^2 - 6a \cdot 3 + 2 - 2a + 9a^2 = 9 - 18a + 2 - 2a + 9a^2 = 9a^2 - 20a + 11 \]

Условие \( f(3) > 0 \):

\[ 9a^2 - 20a + 11 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 9a^2 - 20a + 11 = 0 \) по формуле корней квадратного уравнения:

\[ a = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 11}}{2 \cdot 9} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 396}}{18} = \frac{20 \pm \sqrt{4}}{18} = \frac{20 \pm 2}{18} \]

Отсюда, \( a_1 = \frac{20 - 2}{18} = \frac{18}{18} = 1 \) и \( a_2 = \frac{20 + 2}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9} \).

Так как парабола \( y = 9a^2 - 20a + 11 \) направлена ветвями вверх, условие \( 9a^2 - 20a + 11 > 0 \) выполняется при \( a < 1 \) или \( a > \frac{11}{9} \).

Найдем вершину параболы \( x_в \):

\[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6a}{2 \cdot 1} = 3a \]

Условие \( x_в > 3 \):

\[ 3a > 3 \implies a > 1 \]

Теперь объединим все три условия:

\( a \ge 1 \) И (\( a < 1 \) ИЛИ \( a > \frac{11}{9} \)) И \( a > 1 \).

Из \( a \ge 1 \) и \( a > 1 \) получаем \( a > 1 \).

Тогда, \( a > 1 \) И (\( a < 1 \) ИЛИ \( a > \frac{11}{9} \)).

Это означает, что \( a \) должно быть больше \( \frac{11}{9} \).

Значит, \( a \in (\frac{11}{9}, +\infty) \).

Пропущенное слово: интервала.

Ответ: интервала.