Ответ:

Вложить в руку, располагающая улыбка, понятно излагали, отрастивший гриву, заросла сорняками, маленький росточек, отрасль машиностроения.

В корнях с чередованием лаг/лож перед г пишется а, перед ж — о. В корнях раст/ращ/рос перед ст и щ пишется а, перед с — о; слова-исключения росток и отрасль пишутся с о и а соответственно.