Контрольные задания > ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 4.
Вопрос:

ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 4.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Окружность с центром О.
  • Касательные МА и МВ.
  • ∑AOB = 120°.
  • МО = 4.
  • Найти: расстояние АВ — ?
Краткое пояснение: Треугольник МОА является прямоугольным, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Используя свойства равнобедренного треугольника AOB и тригонометрию, найдем длину отрезка АВ.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определим свойства треугольника AOB. Так как МА и МВ — касательные, проведенные из одной точки, то ОА = ОВ (радиусы окружности). Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.
  2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. Угол МОА равен половине угла AOB, так как биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла между боковыми сторонами, является и высотой, и медианой. \( \angle MOA = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \).
  3. Шаг 3: Найдем длину радиуса ОА. В прямоугольном треугольнике МОА, где угол МОА = 60°, а гипотенуза МО = 4, радиус ОА является катетом, прилежащим к углу 60°. Используем косинус: \( \cos(\angle MOA) = \frac{OA}{MO} \).
    \( \cos(60°) = \frac{OA}{4} \).
    \( \frac{1}{2} = \frac{OA}{4} \).
    \( OA = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
  4. Шаг 4: Найдем длину отрезка АВ. В равнобедренном треугольнике AOB, высота МО, проведенная из вершины О к основанию АВ, делит основание пополам. То есть, АМ = МВ и \( \angle AOM = \angle BOM = 60° \). Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. Угол МАO = 90°. Угол МОА = 60°, значит угол АМО = 30°.
    В треугольнике AOB, проведем высоту ОК к стороне АВ. Так как треугольник AOB равнобедренный, ОК является биссектрисой и медианой. \( \angle AOK = \angle BOK = 60° \).
    В прямоугольном треугольнике ОКА: \( \sin(\angle AOK) = \frac{AK}{OA} \).
    \( \sin(60°) = \frac{AK}{2} \).
    \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AK}{2} \).
    \( AK = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
  5. Шаг 5: Расстояние между точками касания А и В равно длине отрезка АВ. Так как ОК — медиана, то \( AB = 2 \cdot AK \).
    \( AB = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Ответ: расстояние между точками касания А и В равно \( 2\sqrt{3} \).

ГДЗ по фото 📸