ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 2. Найдите значение выражения √4√5+9-√5.

Решение:

1. Упрощение выражения под корнем:
   Рассмотрим выражение под квадратным корнем: \(4\sqrt{5} + 9 - \sqrt{5}\).
   Сгруппируем члены с \(\sqrt{5}\): \((4\sqrt{5} - \sqrt{5}) + 9\).
   Вычислим: \(3\sqrt{5} + 9\).
2. Преобразование выражения:
   Теперь исходное выражение выглядит так: \(\sqrt{9 + 3\sqrt{5}}\).
   Попробуем представить выражение под корнем в виде квадрата суммы или разности вида \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\) или \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}\).
   У нас есть \(9 + 3\sqrt{5}\). Чтобы привести к виду \(a + b + 2\sqrt{ab}\), нам нужно, чтобы коэффициент при \(\sqrt{5}\) был четным. Умножим и разделим \(3\sqrt{5}\) на 2: \( \frac{6\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{36 \cdot 5}}{2} = \frac{\sqrt{180}}{2} \).
   Тогда выражение под корнем будет \(9 + \frac{\sqrt{180}}{2}\). Это не упрощает задачу.
   
   Альтернативный подход:
   Попробуем выделить полный квадрат.
   Пусть \(\sqrt{9 + 3\sqrt{5}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
   Возведем обе части в квадрат: \(9 + 3\sqrt{5} = a + b + 2\sqrt{ab}\).
   Приравниваем целые части и части под корнем:
   \(a + b = 9\)
   \(2\sqrt{ab} = 3\sqrt{5}\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{4ab} = \sqrt{9 \cdot 5}\) \(\Rightarrow\) \(4ab = 45\) \(\Rightarrow\) \(ab = \frac{45}{4}\).
   Нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение \(\frac{45}{4}\).
   Составим квадратное уравнение: \(x^2 - 9x + \frac{45}{4} = 0\).
   Умножим на 4: \(4x^2 - 36x + 45 = 0\).
   Найдем дискриминант: \(D = (-36)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 45 = 1296 - 720 = 576\).
   \(\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24\).
   \(x_1 = \frac{36 + 24}{2 \cdot 4} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}\).
   \(x_2 = \frac{36 - 24}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
   Итак, \(a = \frac{15}{2}\) и \(b = \frac{3}{2}\) (или наоборот).
   Тогда \(\sqrt{9 + 3\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{15}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}}\).
   \(= \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \(\frac{\sqrt{30} + \sqrt{6}}{2}\).
   Этот вариант также не является окончательным простым числом.
3. Переосмысление:
   Вернемся к исходному выражению: \( \sqrt{4\sqrt{5} + 9 - \sqrt{5}} \).
   Это \( \sqrt{9 + 3\sqrt{5}} \).
   Рассмотрим внимательно, нет ли в выражении ошибки или возможности упрощения, которое было упущено.
   Похоже, что в условии могло быть \( √{4√{5}+9 - √{5}} √{5}) \), но это маловероятно.
   Вернемся к \( √{9 + 3√{5}} √{5}) \).
   Если бы под корнем было \(a + b + 2√{ab}\), то \(2√{ab} = 3√{5}\).
   \(√{4ab} = √{9 √{5}} √{5})\) — это не та форма.
4. Повторный анализ:
   \(√{4√{5}+9-√{5}} = √{9 + 3√{5}} \).
   Пусть \(√{9 + 3√{5}} = √{x} + √{y}\).
   \(9 + 3√{5} = x + y + 2√{xy}\).
   \(x+y = 9\)
   \(2√{xy} = 3√{5}\). \(√{4xy} = √{9 √{5}} √{5})\) — не верно. \(2√{xy} = √{9 √{5}} √{5})\). \(4xy = 45\). \(xy = 45/4\).
   \(t^2 - 9t + 45/4 = 0\). \(4t^2 - 36t + 45 = 0\). \(t = — −36 ± √{36^2 - 4 ∙ 4 ∙ 45}}{2 ∙ 4} = — −36 ± √{1296 - 720}}{8} = — −36 ± √{576}}{8} = — −36 ± 24}{8}\).
   \(t_1 = — −36+24}{8} = — −12}{8} = — −3}{2}\).
   \(t_2 = — −36-24}{8} = — −60}{8} = — −15}{2}\).
   Это значит, что \(a\) и \(b\) не являются положительными числами, что необходимо для \(√{a} + √{b}\).
   
   Возможно, ошибка в условии. Проверим, если бы было \( √{4√{5}+9} - √{5}) \)
   \( √{4√{5}+9} \) нельзя упростить таким же образом, так как \(2√{ab}\) должно быть \(4√{5}\), значит \(ab = 4 ∙ 5 = 20\) и \(a+b=9\). \(t^2 - 9t + 20 = 0\). \((t-4)(t-5)=0\). \(t_1=4, t_2=5\).
   Тогда \( √{9+4√{5}} = √{4} + √{5} = 2 + √{5}\).
   Если это было так, то выражение стало бы \( (2 + √{5}) - √{5} = 2 \).
   
   Предположим, что в условии имелось в виду: \( √{(√{4√{5}+9}) - √{5}} \)
   Если \( √{9+4√{5}} = 2+√{5} \), то \(2+√{5} - √{5} = 2\).
   
   Однако, если следовать условию буквально: \( √{4√{5}+9-√{5}} \)
   \( √{9 + 3√{5}} \).
   Давайте проверим, нет ли другого способа выделить полный квадрат.
   \(9 + 3√{5} = √{81} + √{45}\).
   Если предположить, что \( √{9+3√{5}} = √{A} + √{B} \), то \(A+B = 9\) и \(2√{AB} = 3√{5}\) \(→\) \(4AB = 45\) \(→\) \(AB = 45/4\).
   \(t^2 - 9t + 45/4 = 0\) \(→\) \(4t^2 - 36t + 45 = 0\).
   \(t = — −36 ± √{36^2 - 4 ∙ 4 ∙ 45}}}{8} = — −36 ± √{1296 - 720}}{8} = — −36 ± 24}{8}\).
   \(t_1 = 12/8 = 3/2\), \(t_2 = 60/8 = 15/2\).
   Следовательно, \( √{9+3√{5}} = √{15/2} + √{3/2} = — − rac{√{30}+√{6}}}{2}\).
   Возможно, в задании имелось в виду \( √{(√{4 √{5}} + 9)} - √{5} \).
   \( √{9 + 4√{5}} \). Здесь \(a+b=9\) и \(2√{ab} = 4√{5}\) \(→\) \(ab = 4 ∙ 5 = 20\). \(t^2 - 9t + 20 = 0\) \(→\) \((t-4)(t-5)=0\). \(t_1=4, t_2=5\).
   \( √{9 + 4√{5}} = √{4} + √{5} = 2 + √{5}\).
   Если это так, то \( (2 + √{5}) - √{5} = 2 \).
   Учитывая контекст 8 класса, скорее всего, имелось в виду последнее.
   Предположим, что условие задачи было: \( √{9 + 4√{5}} - √{5} \).
5. Решение при условии, что задача была \( √{9 + 4√{5}} - √{5} \):
   Рассмотрим выражение \( √{9 + 4√{5}} \).
   Мы ищем такое \(a\) и \(b\), чтобы \(a+b=9\) и \(2√{ab} = 4√{5}\).
   Из \(2√{ab} = 4√{5}\) следует \(√{ab} = 2√{5}\), возводя в квадрат, получаем \(ab = (2√{5})^2 = 4 ∙ 5 = 20\).
   Теперь нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 20. Эти числа — 4 и 5.
   Значит, \( √{9 + 4√{5}} = √{4} + √{5} = 2 + √{5}\).
   Теперь подставим это в исходное выражение: \( (2 + √{5}) - √{5} \).
   \(2 + √{5} - √{5} = 2\).

Ответ: 2