ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Решите уравнение (х+5)²= (2x+7)².

Краткое пояснение:

Для решения уравнения, где обе части возведены в квадрат, можно использовать два основных метода: либо извлечь квадратный корень из обеих частей, либо раскрыть скобки и привести уравнение к квадратному.

Пошаговое решение:

Метод 1: Извлечение квадратного корня

1. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
• \( x + 5 = & 2x + 7 \)
• \( x + 5 = - (2x + 7) \)
2. Случай 1: \( x + 5 = 2x + 7 \)
• Вычтем \( x \) из обеих частей: \( 5 = x + 7 \)
• Вычтем 7 из обеих частей: \( x = 5 - 7 \)
• \( x = -2 \)
3. Случай 2: \( x + 5 = - (2x + 7) \)
• Раскроем скобки: \( x + 5 = -2x - 7 \)
• Прибавим \( 2x \) к обеим частям: \( 3x + 5 = -7 \)
• Вычтем 5 из обеих частей: \( 3x = -12 \)
• Разделим обе части на 3: \( x = -4 \)

Метод 2: Раскрытие скобок и приведение к квадратному уравнению

1. Раскроем скобки: \( x^2 + 10x + 25 = 4x^2 + 28x + 49 \)
2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):
• \( 0 = 4x^2 - x^2 + 28x - 10x + 49 - 25 \)
• \( 0 = 3x^2 + 18x + 24 \)
3. Разделим все члены на 3 для упрощения: \( x^2 + 6x + 8 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем теорему Виета:
• Сумма корней \( x_1 + x_2 = -6 \)
• Произведение корней \( x_1 & x_2 = 8 \)
• Подбираем числа: \( -2 \) и \( -4 \) удовлетворяют этим условиям:
• \( -2 + (-4) = -6 \)
• \( -2 & (-4) = 8 \)
5. Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -4 \).

Ответ: Корни уравнения: \( x = -2 \) и \( x = -4 \).