ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 Код 80107 18 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2. Решение.

Решение:

Для решения этой задачи проведем дополнительные построения и воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и биссектрисы.

1. Анализ условий:
   • Трапеция ABCD прямоугольная, значит, углы при вершинах A и D прямые (90°).
   • AD и BC — основания, AD > BC (поскольку AC — биссектриса угла A, и если бы AD было меньшим основанием, то угол CAD был бы равен 45°, а угол ACD — 45°, что делало бы треугольник ADC равнобедренным, и AD=CD, но тогда BC < CD, что не всегда следует из условия).
   • AC — биссектриса угла A (∠BAC = ∠CAD = 45°).
   • Меньшее основание BC = 8√2.
2. Свойства биссектрисы:
   • Поскольку AC — биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°.
   • Так как AD || BC, то ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).
   • Следовательно, ∠BCA = 45°.
3. Треугольник ABC:
   • В треугольнике ABC: ∠ABC = 90° (по условию трапеция прямоугольная), ∠BAC = 45°, ∠BCA = 45°.
   • Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный (так как углы при основании AC равны).
   • Следовательно, AB = BC.
   • Так как BC = 8√2, то AB = 8√2.
4. Треугольник ACD:
   • В треугольнике ACD: ∠ADC = 90° (по условию трапеция прямоугольная), ∠CAD = 45°.
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠ACD = 180° - 90° - 45° = 45°.
   • Следовательно, треугольник ACD — прямоугольный и равнобедренный (так как углы при основании AD равны).
   • Значит, AD = CD.
5. Вычисление AD:
   • В прямоугольном треугольнике ADC, по теореме Пифагора: AC² = AD² + CD².
   • Так как AD = CD, то AC² = AD² + AD² = 2 * AD².
   • Мы знаем, что AB = 8√2 и BC = 8√2.
   • В прямоугольном треугольнике ABC: AC² = AB² + BC² = (8√2)² + (8√2)² = 64 * 2 + 64 * 2 = 128 + 128 = 256.
   • Теперь найдем AD: 2 * AD² = AC² = 256.
   • AD² = 128.
   • AD = √128 = √(64 * 2) = 8√2.
   • Получили, что AD = 8√2. Следовательно, BC = AD = 8√2. Это означает, что трапеция ABCD является прямоугольником.
   • Если ABCD — прямоугольник, то диагонали равны: AC = BD.
   • AC = √256 = 16.
   • Следовательно, BD = 16.
6. Проверка:
   • Если ABCD — прямоугольник, то AD || BC, AB ⊥ AD, AB ⊥ BC. Углы A, B, C, D равны 90°.
   • Диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 90°. Это означает, что угол BAC = угол CAD = 45°.
   • В прямоугольном треугольнике ABC, если ∠BAC = 45°, то ∠BCA = 45°, значит, AB = BC.
   • Если BC = 8√2, то AB = 8√2.
   • В прямоугольном треугольнике ADC, если ∠CAD = 45°, то ∠ACD = 45°, значит, AD = CD.
   • Если ABCD — прямоугольник, то AD = BC = 8√2.
   • В этом случае, AB = 8√2, BC = 8√2, CD = 8√2, AD = 8√2.
   • Диагональ AC² = AB² + BC² = (8√2)² + (8√2)² = 128 + 128 = 256. AC = 16.
   • Диагональ BD² = BC² + CD² = (8√2)² + (8√2)² = 128 + 128 = 256. BD = 16.
   • Таким образом, если AC является биссектрисой угла A в прямоугольной трапеции, и угол A равен 45°, то трапеция является прямоугольником, и обе диагонали равны.

Финальный ответ:

Ответ: Длина диагонали BD равна 16.