ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 17 Найдите значение выражения √4√2+6-√2.

Решение:

Для нахождения значения выражения \( \sqrt{4\sqrt{2}+6-\sqrt{2}} \) выполним следующие шаги:

1. Упростим выражение под корнем: \( 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
2. Таким образом, выражение под корнем станет: \( 6 + 3\sqrt{2} \).
3. Полное выражение: \( \sqrt{6 + 3\sqrt{2}} \).
4. Дальнейшее упрощение этого выражения возможно, если оно является полным квадратом вида \( (a+b\sqrt{2})^2 \) или \( (a\sqrt{2}+b)^2 \).
5. Рассмотрим \( (a+b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = (a^2+2b^2) + 2ab\sqrt{2} \).
6. Приравнивая \( (a^2+2b^2) + 2ab\sqrt{2} \) к \( 6 + 3\sqrt{2} \), мы получаем систему уравнений: \( a^2+2b^2 = 6 \) и \( 2ab = 3 \).
7. Из \( 2ab = 3 \) следует \( b = \frac{3}{2a} \).
8. Подставим это в первое уравнение: \( a^2 + 2(\frac{3}{2a})^2 = 6 \) \( a^2 + 2(\frac{9}{4a^2}) = 6 \) \( a^2 + \frac{9}{2a^2} = 6 \).
9. Умножим на \( 2a^2 \) (предполагая \( a \neq 0 \)): \( 2a^4 + 9 = 12a^2 \).
10. Перенесем все в одну сторону: \( 2a^4 - 12a^2 + 9 = 0 \).
11. Пусть \( y = a^2 \). Тогда \( 2y^2 - 12y + 9 = 0 \).
12. Решим квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 144 - 72 = 72 \).
13. \( \sqrt{D} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \).
14. \( y = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{4} = 3 \pm \frac{3}{2}\sqrt{2} \).
15. Так как \( y = a^2 \), \( a^2 = 3 \pm \frac{3}{2}\sqrt{2} \).
16. В этом случае \( a \) будет содержать корень из \( \sqrt{2} \), что не соответствует упрощению \( (a+b\sqrt{2})^2 \) для данного вида.
17. Проверим, возможно ли упрощение вида \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}} \), где \( C = \sqrt{A^2-B} \).
18. Перепишем \( \sqrt{6 + 3\sqrt{2}} = \sqrt{6 + \sqrt{18}} \).
19. Здесь \( A=6 \), \( B=18 \).
20. \( C = \sqrt{6^2 - 18} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
21. Поскольку \( C \) не является целым числом, формула не дает простого упрощения.
22. Возможно, в условии задачи есть опечатка, или выражение не упрощается до более простого вида без использования приближенных значений.
23. Если предположить, что под корнем было \( \sqrt{4+2\sqrt{2}} \) или \( \sqrt{6+2\sqrt{2}} \), то упрощение было бы возможно.
24. По условию \( \sqrt{4\sqrt{2}+6-\sqrt{2}} = \sqrt{6+3\sqrt{2}} \).
25. Оставим значение в таком виде, если не требуется приближенного вычисления.
26. Если требуется приближенное значение: \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).
27. \( 6 + 3 \times 1.414 = 6 + 4.242 = 10.242 \).
28. \( \sqrt{10.242} \approx 3.199 \).

Ответ: \( \sqrt{6+3\sqrt{2}} \).