ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 3.

Решение

Дано:

• ABCD — параллелограмм
• AM и DM — биссектрисы углов A и D соответственно
• M лежит на стороне BC
• AB = 3

Найти: Периметр ABCD

1. Свойства параллелограмма:
• Противоположные стороны равны: AD = BC, AB = CD = 3.
• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠D = 180°.
2. Свойства биссектрис:
• Биссектриса делит угол пополам.
• Рассмотрим ∠DAB: ∠DAM = ∠MAB = ∠A / 2.
• Рассмотрим ∠ADC: ∠ADM = ∠MDC = ∠D / 2.
3. Рассмотрим треугольник ABM:
• Угол ∠AMB является внешним углом треугольника AMD.
• Альтернативно:
• ∠MAB = ∠A / 2.
• Так как AB || BC, то ∠AMB = ∠MAB (накрест лежащие углы).
• Следовательно, △ABM — равнобедренный с AB = BM.
• Так как AB = 3, то BM = 3.
4. Рассмотрим треугольник CDM:
• Угол ∠DMC является внешним углом треугольника AMD.
• Альтернативно:
• ∠MDC = ∠D / 2.
• Так как CD || BC, то ∠DMC = ∠MDC (накрест лежащие углы).
• Следовательно, △CDM — равнобедренный с CD = CM.
• Так как CD = 3, то CM = 3.
5. Сторона BC:
• BC = BM + MC
• BC = 3 + 3 = 6
• Следовательно, AD = 6.
6. Периметр параллелограмма:
• P = 2 * (AB + BC)
• P = 2 * (3 + 6)
• P = 2 * 9 = 18

Ответ: Периметр параллелограмма равен 18.