ВПР. Математика. 6 класс. Вариант 2. Часть 2. Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша?

Решение:

1. Обозначим четырёхзначное число как \(N\). Сумма цифр числа \(N\) обозначим как \(S\).
2. По условию задачи, \(N - S = X\), где \(X\) — число, полученное после вычитания.
3. Известно, что число \(N\) четырёхзначное, а \(N - S\) — это число, у которого зачеркнули одну цифру, и получилось 543.
4. Свойство делимости: Число, из которого вычли сумму его цифр, делится на 9. То есть \(N - S\) должно делиться на 9.
5. Число, которое получилось после зачеркивания цифры, равно 543. Это означает, что исходное число \(X\) было трёхзначным и содержало цифру 5, 4 и 3, а также одну зачеркнутую цифру.
6. Возможные варианты числа \(X\) до зачеркивания цифры:
• Если зачеркнута цифра в позиции сотен: 543. Но это число должно делиться на 9. Сумма цифр 5+4+3 = 12, не делится на 9.
• Если зачеркнута цифра в позиции десятков: 5x43 (где x — зачеркнутая цифра). Варианты: 5043, 5143, 5243, 5343, 5443, 5543, 5643, 5743, 5843, 5943. Сумма цифр числа 543 равна 12. Если добавить к ней зачеркнутую цифру, то сумма должна делиться на 9. Возможные зачеркнутые цифры: 6 (12+6=18) или 3 (12+3=15, не делится) или 9 (12+9=21, не делится). Если зачеркнутая цифра — 6, то число было 5643. 5643 - (5+6+4+3) = 5643 - 18 = 5625. Это не 543.
• Если зачеркнута цифра в позиции единиц: 54x3 (где x — зачеркнутая цифра). Варианты: 5403, 5413, 5423, 5433, 5443, 5453, 5463, 5473, 5483, 5493. Если зачеркнутая цифра — 6, то число было 5463. 5463 - (5+4+6+3) = 5463 - 18 = 5445. Это не 543.
• Если зачеркнута цифра в позиции тысяч: x543.
• Рассмотрим случай, когда зачеркнутая цифра находится в середине числа, и получившееся число 543.
• Пусть исходное число было \(1000a + 100b + 10c + d\).
• Сумма цифр \(S = a + b + c + d\).
• \(N - S = 1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c\). Это число делится на 9.
• Число 543 не делится на 9. Значит, зачеркнутая цифра была частью этого числа.
• Пусть число было \(X\), и после зачеркивания цифры получилось 543.
• Возможные варианты \(X\) (число, из которого вычли сумму цифр):
• Если зачеркнутая цифра — первая (тысячи): \(a543\), где \(a\) — зачеркнутая цифра. Значит, \(X\) могло быть 1543, 2543, ..., 9543.
• Если зачеркнутая цифра — вторая (сотни): \(5a43\), где \(a\) — зачеркнутая цифра. Значит, \(X\) могло быть 5043, 5143, ..., 5943.
• Если зачеркнутая цифра — третья (десятки): \(54a3\), где \(a\) — зачеркнутая цифра. Значит, \(X\) могло быть 5403, 5413, ..., 5493.
• Если зачеркнутая цифра — четвертая (единицы): \(543a\), где \(a\) — зачеркнутая цифра. Значит, \(X\) могло быть 5430, 5431, ..., 5439.
• Известно, что \(X\) делится на 9. Проверим суммы цифр для каждого случая:
• Число 543. Сумма цифр 5+4+3 = 12.
• Если зачеркнутая цифра — \(a\), то \(X\) могло быть:
• - 5643 (зачеркнули 6, сумма 5+6+4+3=18, делится на 9).
• - 5493 (зачеркнули 9, сумма 5+4+9+3=21, не делится).
• - 5436 (зачеркнули 6, сумма 5+4+3+6=18, делится на 9).
• - 6543 (зачеркнули 6, сумма 6+5+4+3=18, делится на 9).
• Рассмотрим случай, когда \(X = 5643\).
• \(N - S = 5643\).
• \(N - S = 999a + 99b + 9c\).
• Если \(a=5\) (первая цифра четырехзначного числа), то \(999 * 5 = 4995\).
• \(4995 + 99b + 9c = 5643\)
• \(99b + 9c = 5643 - 4995 = 648\)
• \(11b + c = 72\)
• Возможные значения для \(b\) и \(c\):
• Если \(b = 6\), то \(11*6 + c = 72\) -> \(66 + c = 72\) -> \(c = 6\).
• Тогда \(N\) могло быть 566d. \(S = 5+6+6+d = 17+d\).
• \(N - S = 5660+d - (17+d) = 5643\).
• \(5660 - 17 = 5643\). Это верно.
• Значит, зачеркнутая цифра была \(c=6\).
• Проверим: Маша загадала число 566d. Пусть это будет 5666. Сумма цифр 5+6+6+6=23. 5666 - 23 = 5643. Зачеркнув одну цифру 6, получили 5643. Если зачеркнута третья цифра (6), то получится 5643.
• Если \(b = 5\), то \(11*5 + c = 72\) -> \(55 + c = 72\) -> \(c = 17\) (невозможно).
7. Рассмотрим случай, когда \(X = 5436\).
8. \(999a + 99b + 9c = 5436\).
9. Если \(a=5\): \(4995 + 99b + 9c = 5436\).
10. \(99b + 9c = 5436 - 4995 = 441\).
11. \(11b + c = 49\).
• Если \(b = 4\), то \(11*4 + c = 49\) -> \(44 + c = 49\) -> \(c = 5\).
• Тогда \(N\) могло быть 545d. \(S = 5+4+5+d = 14+d\).
• \(N - S = 5450+d - (14+d) = 5436\).
• \(5450 - 14 = 5436\). Это верно.
• Значит, зачеркнутая цифра была \(c=5\).
• Проверим: Маша загадала число 545d. Пусть это будет 5455. Сумма цифр 5+4+5+5=19. 5455 - 19 = 5436. Зачеркнув одну цифру 5, получили 5436. Если зачеркнута третья цифра (5), то получится 5436.
12. Рассмотрим случай, когда \(X = 6543\).
13. \(999a + 99b + 9c = 6543\).
14. Если \(a=6\): \(999 * 6 = 5994\).
15. \(5994 + 99b + 9c = 6543\).
16. \(99b + 9c = 6543 - 5994 = 549\).
17. \(11b + c = 61\).
• Если \(b = 5\), то \(11*5 + c = 61\) -> \(55 + c = 61\) -> \(c = 6\).
• Тогда \(N\) могло быть 656d. \(S = 6+5+6+d = 17+d\).
• \(N - S = 6560+d - (17+d) = 6543\).
• \(6560 - 17 = 6543\). Это верно.
• Значит, зачеркнутая цифра была \(c=6\).
• Проверим: Маша загадала число 656d. Пусть это будет 6566. Сумма цифр 6+5+6+6=23. 6566 - 23 = 6543. Зачеркнув одну цифру 6, получили 6543. Если зачеркнута третья цифра (6), то получится 6543.
18. Таким образом, мы нашли три возможных варианта:
• Маша загадала 5666, вычла сумму цифр (23), получила 5643. Зачеркнула цифру 6 (третью), получила 5643.
• Маша загадала 5455, вычла сумму цифр (19), получила 5436. Зачеркнула цифру 5 (третью), получила 5436.
• Маша загадала 6566, вычла сумму цифр (23), получила 6543. Зачеркнула цифру 6 (третью), получила 6543.
• В каждом из этих случаев зачеркнутая цифра является одной из цифр в полученном числе 543.
• Если зачеркнутая цифра была 5, то исходное число было 5xxx.
• Если зачеркнутая цифра была 4, то исходное число было x4xx.
• Если зачеркнутая цифра была 3, то исходное число было xx3x.
• Рассмотрим первое условие: \(N - S\) делится на 9.
• Если число 543 было получено после зачеркивания, то исходное число \(X\) могло быть:
• - 543x (зачеркнута последняя цифра). \(5+4+3+x = 12+x\) должно делиться на 9. x=6. \(X=5436\). \(N - S = 5436\).
• - 54x3 (зачеркнута предпоследняя цифра). \(5+4+x+3 = 12+x\) должно делиться на 9. x=6. \(X=5463\). \(N - S = 5463\).
• - 5x43 (зачеркнута вторая цифра). \(5+x+4+3 = 12+x\) должно делиться на 9. x=6. \(X=5643\). \(N - S = 5643\).
• - x543 (зачеркнута первая цифра). \(x+5+4+3 = x+12\) должно делиться на 9. x=6. \(X=6543\). \(N - S = 6543\).
• Теперь проверим, какой из этих \(X\) может быть результатом вычитания суммы цифр из четырёхзначного числа.
• Случай 1: \(N - S = 5436\).
• \(999a + 99b + 9c = 5436\).
• Если \(a=5\), то \(4995 + 99b + 9c = 5436\) -> \(99b + 9c = 441\) -> \(11b + c = 49\).
• \(b=4, c=5\). \(N = 545d\). \(5+4+5+d = 14+d\). \(545d - (14+d) = 5436\) -> \(5450 - 14 = 5436\). Это верно. \(N = 5455\). Сумма цифр 19. \(5455-19 = 5436\). Зачеркнутая цифра 5 (третья). Получили 5436.
• Случай 2: \(N - S = 5463\).
• \(999a + 99b + 9c = 5463\).
• Если \(a=5\), то \(4995 + 99b + 9c = 5463\) -> \(99b + 9c = 468\) -> \(11b + c = 52\).
• \(b=4, c=8\). \(N = 548d\). \(5+4+8+d = 17+d\). \(548d - (17+d) = 5463\) -> \(5480 - 17 = 5463\). Это верно. \(N = 5480\). Сумма цифр 17. \(5480-17=5463\). Зачеркнутая цифра 8 (третья). Получили 5463.
• Случай 3: \(N - S = 5643\).
• \(999a + 99b + 9c = 5643\).
• Если \(a=5\), то \(4995 + 99b + 9c = 5643\) -> \(99b + 9c = 648\) -> \(11b + c = 72\).
• \(b=6, c=6\). \(N = 566d\). \(5+6+6+d = 17+d\). \(566d - (17+d) = 5643\) -> \(5660 - 17 = 5643\). Это верно. \(N = 5666\). Сумма цифр 23. \(5666-23=5643\). Зачеркнутая цифра 6 (третья). Получили 5643.
• Случай 4: \(N - S = 6543\).
• \(999a + 99b + 9c = 6543\).
• Если \(a=6\), то \(5994 + 99b + 9c = 6543\) -> \(99b + 9c = 549\) -> \(11b + c = 61\).
• \(b=5, c=6\). \(N = 656d\). \(6+5+6+d = 17+d\). \(656d - (17+d) = 6543\) -> \(6560 - 17 = 6543\). Это верно. \(N = 6566\). Сумма цифр 23. \(6566-23=6543\). Зачеркнутая цифра 6 (третья). Получили 6543.
• В каждом случае, когда мы получили число, например, 5643, зачеркнутая цифра была 6.
• Рассмотрим условие: «у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543».
• Это значит, что число \(X\) было трёхзначным, и у него зачеркнули одну цифру, получив 543.
• Это противоречит условию, что \(N-S\) должно делиться на 9, а 543 не делится на 9.
• Значит, 543 — это результат после зачеркивания цифры из числа \(X\), которое делится на 9.
• Пусть \(X\) — число, которое делится на 9.
• Если зачеркнутая цифра — 6, то \(X\) мог быть 5643.
• \(N - S = 5643\).
• Мы нашли, что \(N = 5666\) подходит.
• \(N - S = 5666 - (5+6+6+6) = 5666 - 23 = 5643\).
• Из числа 5643 зачеркнули цифру 6 (третью), получили 5643. Это опять противоречие.
• Перечитаем условие: «у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543».
• Значит, \(X\) — это число, у которого одна цифра зачеркнута, и получилось 543. \(X\) делится на 9.
• Возможные числа \(X\) (куда вставляется зачеркнутая цифра):
• 1. 543 (зачеркнули 0, 1, 2, ...). Сумма цифр 5+4+3 = 12. Не делится на 9.
• 2. x543. \(x+5+4+3 = x+12\) делится на 9. \(x=6\). \(X=6543\).
• 3. 5x43. \(5+x+4+3 = x+12\) делится на 9. \(x=6\). \(X=5643\).
• 4. 54x3. \(5+4+x+3 = x+12\) делится на 9. \(x=6\). \(X=5463\).
• 5. 543x. \(5+4+3+x = 12+x\) делится на 9. \(x=6\). \(X=5436\).
• Рассмотрим случай \(X=6543\).
• \(N - S = 6543\).
• \(999a + 99b + 9c = 6543\).
• \(a=6\): \(5994 + 99b + 9c = 6543\) -> \(99b + 9c = 549\) -> \(11b + c = 61\). \(b=5, c=6\). \(N=656d\). \(6+5+6+d=17+d\). \(656d - (17+d) = 6543\) -> \(6560-17 = 6543\). \(N=6566\). \(6566 - (6+5+6+6) = 6566-23 = 6543\). Зачеркнули цифру 6. Получили 6543.
• Если зачеркнули первую цифру, то \(N = 6566\), \(N-S = 6543\). Зачеркнули 6, получили 543. Это не так.
• Если зачеркнули вторую цифру, то \(N = 6566\), \(N-S = 6543\). Зачеркнули 5, получили 643. Это не так.
• Если зачеркнули третью цифру, то \(N = 6566\), \(N-S = 6543\). Зачеркнули 6, получили 653. Это не так.
• Если зачеркнули четвертую цифру, то \(N = 6566\), \(N-S = 6543\). Зачеркнули 6, получили 654. Это не так.
• Рассмотрим случай \(X=5643\). \(N - S = 5643\). \(N=5666\). \(5666 - 23 = 5643\). Зачеркнули 6, получили 5643.
• Если зачеркнули 5, получили 643.
• Если зачеркнули 6 (вторую), получили 543. Это подходит!
• Итак, Маша загадала число \(N=5666\).
• Сумма цифр \(S = 5+6+6+6 = 23\).
• \(N - S = 5666 - 23 = 5643\).
• Из числа 5643 зачеркнули вторую цифру (6). Получилось 543.
• Значит, зачеркнутая цифра — 6.

Финальный ответ:

Ответ: 6