ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 2 Решите неравенство (x+7)² (x-2) ≥0. x²+5x-14 Решение.

Решение:

Данное неравенство:

\( \frac{(x+7)^2 (x-2)}{x^2+5x-14} \geq 0 \)

1. Разложим знаменатель на множители. Для этого найдём корни квадратного уравнения \( x^2+5x-14 = 0 \):
   \( D = 5^2 - 4 · 1 · (-14) = 25 + 56 = 81 \)
   \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5+9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5-9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
   Значит, \( x^2+5x-14 = (x-2)(x+7) \).
2. Подставим разложенный знаменатель в неравенство:
   \( \frac{(x+7)^2 (x-2)}{(x-2)(x+7)} \geq 0 \)
3. Сократим дробь, учитывая, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -7 \):
   \( (x+7) \geq 0 \)
4. Решим полученное неравенство:
   \( x \geq -7 \)
5. Учитывая ограничения \( x \neq 2 \) и \( x \neq -7 \), получаем интервалы: \( (-7; 2) \cup (2; \infty) \).
6. Однако, в исходном неравенстве числитель \( (x+7)^2 \) всегда неотрицателен, а \( (x-2) \) может быть как положительным, так и отрицательным. Знаменатель \( x^2+5x-14 = (x-2)(x+7) \) должен быть положителен или отрицателен.
7. Рассмотрим знаки множителей. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль: \( x=2 \) и \( x=-7 \). Точки, в которых числитель обращается в ноль: \( x=-7 \) (причём степень чётная, т.е. знак не меняется) и \( x=2 \).
8. Нам нужно, чтобы дробь была \( \geq 0 \).
9. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; -7), (-7; 2), (2; \infty) \).
10. В интервале \( (-\infty; -7) \): \( (x+7)^2 > 0 \), \( x-2 < 0 \), \( x^2+5x-14 > 0 \). Дробь: \( \frac{+ · -}{+} = - \), что < 0.
11. В интервале \( (-7; 2) \): \( (x+7)^2 > 0 \), \( x-2 < 0 \), \( x^2+5x-14 < 0 \). Дробь: \( \frac{+ · -}{-} = + \), что > 0.
12. В интервале \( (2; \infty) \): \( (x+7)^2 > 0 \), \( x-2 > 0 \), \( x^2+5x-14 > 0 \). Дробь: \( \frac{+ · +}{+} = + \), что > 0.
13. Также нужно учесть случаи, когда числитель равен нулю. \( (x+7)^2 = 0 ⇒ x = -7 \). \( x-2 = 0 ⇒ x = 2 \).
14. При \( x=-7 \) числитель равен 0, знаменатель не равен 0. \( \frac{0}{?} = 0 \), что удовлетворяет условию \( \geq 0 \).
15. При \( x=2 \) знаменатель равен 0, поэтому этот корень не входит в решение.
16. Объединяя полученные интервалы и точки, получаем: \( x ∈ [-7; 2) ∪ (2; \infty) \)

Ответ: \( x ∈ [-7; 2) ∪ (2; \infty) \).