ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 2. Часть 2 Порядковый 02 Код 10080 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = 2 и BC = 4. Известно, что CC₁ = 2√2 и что точка М является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми BM и C₁A.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Задаем координаты вершин.
   Разместим начало координат в точке A. Пусть оси координат x, y, z совпадают с ребрами AB, AD, AA₁ соответственно.
   Координаты вершин:
   A = (0, 0, 0)
   B = (2, 0, 0)
   C = (2, 4, 0)
   D = (0, 4, 0)
   A₁ = (0, 0, 2√2)
   B₁ = (2, 0, 2√2)
   C₁ = (2, 4, 2√2)
   D₁ = (0, 4, 2√2)
   Точка M — середина AA₁, следовательно, M = (0, 0, √2).
2. Шаг 2: Находим векторы BM и C₁A.
   Вектор BM = M - B = (0 - 2, 0 - 0, √2 - 0) = (-2, 0, √2).
   Вектор C₁A = A - C₁ = (0 - 2, 0 - 4, 0 - 2√2) = (-2, -4, -2√2).
3. Шаг 3: Вычисляем скалярное произведение векторов BM и C₁A.
   Скалярное произведение (BM ⋅ C₁A) = (-2)⋅(-2) + (0)⋅(-4) + (√2)⋅(-2√2) = 4 + 0 - 4 = 0.
4. Шаг 4: Вычисляем модули векторов.
   Модуль вектора BM: |BM| = \(\sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (√2)^2}\) = \(\sqrt{4 + 0 + 2}\) = \(\sqrt{6}\).
   Модуль вектора C₁A: |C₁A| = \(\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-2√2)^2}\) = \(\sqrt{4 + 16 + 8}\) = \(\sqrt{28}\) = \(2\sqrt{7}\).
5. Шаг 5: Находим косинус угла между прямыми.
   Косинус угла (θ) между двумя векторами вычисляется по формуле: cos(θ) = (BM ⋅ C₁A) / (|BM| ⋅ |C₁A|).
   cos(θ) = 0 / (√6 ⋅ 2√7) = 0.

Ответ: 0