ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 1. Часть 2 КОД 18 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2. Решение. Ответ:

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD и BC – основания, ∠BAC = 45°, AC – биссектриса угла A, BC = 9√2.

1. Так как AC – биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°. ΔACD – прямоугольный, ∠CAD = 45°, значит, ∠ACD = 90° - 45° = 45°, следовательно, ΔACD – равнобедренный, и CD = AD.

2. Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный ΔABH: ∠BAH = 45°, значит, ∠ABH = 90° - 45° = 45°, следовательно, ΔABH – равнобедренный, и AH = BH. Так как BH = CD, то AH = CD = AD.

3. AH = AD, значит, AD = AH. AH = AD – HD. HD = BC (так как HDCB – прямоугольник), следовательно, AH = AD – BC = AD – 9√2.

4. Рассмотрим ΔABC: ∠BAC = 45°. Проведем высоту CK к основанию AB. CK = BC = 9√2. AK = CK (так как ΔACK – равнобедренный, ∠CAK = 45°). Значит, AK = 9√2.

5. AB = AK + KB. KB = HD = BC = 9√2, следовательно, AB = 9√2 + 9√2 = 18√2.

6. Рассмотрим ΔABD: AD = AH = AB – BC = 18√2 – 9√2 = 9√2. ΔACD – равнобедренный, значит, AD = CD = 9√2.

7. Рассмотрим ΔABD: AD = 9√2, AB = 18√2. Применим теорему Пифагора: BD² = AB² + AD² = (18√2)² + (9√2)² = 324 × 2 + 81 × 2 = 648 + 162 = 810.

8. BD = √810 = √(81 × 10) = 9√10.

Ответ: 9√10