Впишите правильный ответ. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 82°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение:

Пусть трапеция ABCD — равнобедренная, \( AB = CD \). Диагональ — \( AC \). Углы между диагональю и боковыми сторонами: \( \angle BAC = 28^{\circ} \), \( \angle ACD = 82^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Рассмотрим углы при основании AD.

Угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( AB \) равен \( \angle BAC = 28^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( CD \) равен \( \angle ACD = 82^{\circ} \) (эти углы накрест лежащие, если бы \( AC \) было параллельно \( CD \), но это не так. Условие даёт углы между диагональю и боковыми сторонами, значит \( \angle BAC = 28^{\circ} \) и \( \angle ACD = 82^{\circ} \)).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Угол \( \angle ABC \) — тупой, так как это угол при меньшем основании. Угол \( \angle BAC = 28^{\circ} \).

Угол при основании \( AD \) равен \( \angle CAD \) (это угол между диагональю и основанием).

В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).

Углы, образованные диагоналями и боковыми сторонами:

\( \angle BAC = 28^{\circ} \) (диагональ и боковая сторона \( AB \)).

\( \angle ACD = 82^{\circ} \) (диагональ и боковая сторона \( CD \)).

Углы при основании AD: \( \angle DAB \) и \( \angle CDA \). Углы при основании BC: \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \).

В равнобедренной трапеции \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).

Рассмотрим углы, образованные диагональю \( AC \) с основаниями: \( \angle CAD \) и \( \angle ACB \).

В треугольнике \( ABC \), \( \angle BAC = 28^{\circ} \). Угол \( \angle ABC \) — тупой. \( \angle BCA \) — неизвестен.

В треугольнике \( ADC \), \( \angle ACD = 82^{\circ} \). Угол \( \angle CDA \) — искомый угол при большем основании.

Так как \( AB ∥ CD \) (параллельные основания), то \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) секущей \( AC \)).

Но в условии сказано, что \( \angle BAC = 28^{\circ} \) и \( \angle ACD = 82^{\circ} \). Это противоречие, если \( AB ∥ CD \).

Значит, углы даны между диагональю и боковыми сторонами. Т.е. \( \angle BAC = 28^{\circ} \) и \( \angle ACD = 82^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( AB = CD \).

Углы при основании \( AD \) равны: \( \angle DAB = \angle CDA \). Углы при основании \( BC \) равны: \( \angle ABC = \angle BCD \).

Угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( AB \) равен \( \angle BAC = 28^{\circ} \).

Угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( CD \) равен \( \angle ACD = 82^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ADC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \).

\( \angle CAD + \angle ADC + 82^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle CAD + \angle ADC = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

Угол \( \angle ADC \) — это угол при большем основании.

Рассмотрим треугольник \( ABC \). \( \angle ABC \) — угол при меньшем основании. \( \angle BAC = 28^{\circ} \). \( AB = CD \). \( AC = BD \).

Пусть \( \angle CAD = x \).

Тогда \( \angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = x + 28^{\circ} \).

Так как \( \angle DAB = \angle CDA \), то \( \angle CDA = x + 28^{\circ} \).

Подставим в уравнение \( \angle CAD + \angle ADC = 98^{\circ} \):

\( x + (x + 28^{\circ}) = 98^{\circ} \).

\( 2x + 28^{\circ} = 98^{\circ} \).

\( 2x = 98^{\circ} - 28^{\circ} = 70^{\circ} \).

\( x = 35^{\circ} \).

Значит, \( \angle CAD = 35^{\circ} \).

Искомый угол при большем основании: \( \angle CDA = \angle CAD + \angle BAC = 35^{\circ} + 28^{\circ} = 63^{\circ} \).

Проверим. \( \angle CDA = 63^{\circ} \). \( \angle CAD = 35^{\circ} \). \( \angle ACD = 82^{\circ} \).

\( 35^{\circ} + 63^{\circ} + 82^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.

Угол при меньшем основании \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 28^{\circ}) = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \).

Ответ: 63.