Контрольные задания > 17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?
Вопрос:

17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе.
\(
ewline \)
Пусть задуманное Вовой число имеет вид \(\overline{ab}\), где \(a\) и \(b\) - цифры, то есть числа от 1 до 9. Тогда число можно представить как \(10a + b\).
\(
ewline \)
Вова умножил число на первую цифру, а затем результат умножил на вторую цифру. Получаем уравнение:
\[ (10a + b) \cdot a \cdot b = 408 \]
Наша задача - найти такие цифры \(a\) и \(b\), которые удовлетворяют этому уравнению.
\(
ewline \)
Разложим 408 на простые множители:
\(408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17\)
\(
ewline \)
Так как \(10a + b\) - двузначное число, то оно должно делиться на 17 или быть произведением каких-то из этих множителей. Давай рассмотрим варианты:
\(
ewline \)
1) Если \(10a + b = 17\), то \(a = 1\) и \(b = 7\). Подставим в уравнение:
\[ (10 \cdot 1 + 7) \cdot 1 \cdot 7 = 17 \cdot 1 \cdot 7 = 119
eq 408 \]
Этот вариант не подходит.
\(
ewline \)
2) Если \(10a + b\) делится на 3, то посмотрим, можно ли получить другие множители. Попробуем подобрать значения \(a\) и \(b\) так, чтобы произведение давало 408.
\(
ewline \)
3) Заметим, что 408 делится на 8. Если \(a \cdot b = 8\), то возможны варианты: \(a = 1, b = 8\); \(a = 2, b = 4\); \(a = 4, b = 2\); \(a = 8, b = 1\). Проверим каждый из этих вариантов.
\(
ewline \)
Если \(a = 2, b = 4\), то \(10a + b = 24\).
Тогда \(24 \cdot 2 \cdot 4 = 192
eq 408\).
\(
ewline \)
Если \(a = 4, b = 2\), то \(10a + b = 42\).
Тогда \(42 \cdot 4 \cdot 2 = 336
eq 408\).
\(
ewline \)
4) Если \(a \cdot b = 6\), то \(a = 2, b = 3\) или \(a = 3, b = 2\).
\(
ewline \)
Если \(a = 3, b = 2\), то \(10a + b = 32\).
Тогда \(32 \cdot 3 \cdot 2 = 192
eq 408\).
\(
ewline \)
5) Рассмотрим вариант, когда \(a = 3\) и \(b = 4\):
Тогда \(10a + b = 34\). Получаем:
\[34 \cdot 3 \cdot 4 = 408\]
Этот вариант подходит.
\(
ewline \)
Таким образом, задуманное число - 34.
\(
ewline \)

Ответ: 34

Отлично! Ты справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
ГДЗ по фото 📸