Вопросы для повторения к главе II Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? Какие треугольники называются равными? Что такое теорема и доказательство теоремы? Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Вопросы для повторения к главе II:

1. Объяснение, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.

   Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Угол треугольника - это угол, образованный двумя сторонами, выходящими из одной вершины.

         A
        / \
       /   \
      /     \
     B-------C
   Стороны: AB, BC, CA
   Вершины: A, B, C
   Углы: ∠A, ∠B, ∠C
       

2. Что такое периметр треугольника?

   Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Если стороны треугольника имеют длины a, b и c, то периметр P = a + b + c.

3. Какие треугольники называются равными?

   Два треугольника называются равными, если их можно совместить, наложив один на другой, и при этом все соответствующие стороны и углы этих треугольников равны.

4. Что такое теорема и доказательство теоремы?

   Теорема - это математическое утверждение, истинность которого требуется доказать. Доказательство теоремы - это логически стройная последовательность шагов, опирающихся на аксиомы, ранее доказанные теоремы и правила вывода, которая приводит к подтверждению истинности теоремы.

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

   Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

   Доказательство: Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, а сторона AB наложилась на равную ей сторону A₁B₁. Так как ∠A = ∠A₁, то сторона AC наложится на сторону A₁C₁. Поскольку AC = A₁C₁, то вершина C совместится с вершиной C₁. Таким образом, вершины B и C треугольника ABC совместятся с вершинами B₁ и C₁ треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, сторона BC совместится со стороной B₁C₁. Итак, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совмещаются, то есть они равны.

6. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

   Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, и образующий с этой прямой прямой угол (90 градусов).

7. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

   Теорема: Перпендикуляр, проведённый из данной точки к данной прямой, является кратчайшим расстоянием от этой точки до прямой.

   Доказательство: Пусть из точки A к прямой l проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Тогда треугольник AHB - прямоугольный, и AH - катет, а AB - гипотенуза. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета (AB > AH). Следовательно, перпендикуляр AH меньше любой наклонной AB, проведённой из точки A к прямой l.

8. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

   Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы, проведённые из каждой из его вершин к середине противоположной стороны.

9. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

   Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Каждый треугольник имеет три биссектрисы, проведённые из каждой из его вершин.

10. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

    Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Каждый треугольник имеет три высоты, проведённые из каждой из его вершин к противоположной стороне (или её продолжению).

Ответ: Даны определения треугольника, периметра треугольника, равных треугольников, теоремы, перпендикуляра, медианы, биссектрисы, высоты, а также сформулированы и доказаны теоремы, связанные с равенством треугольников и перпендикуляром.