Вопрос 38 В прямоугольном треугольнике АВС (угол C = 90°) АС+ ВС = 14 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника. Выберите один ответ: 120 см² 24 см² 12 см² 30 см²

Ответ: 24 см²

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\] где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.
• Шаг 2: Известно, что \(AC + BC = 14\) см. Пусть \(AC = a\) и \(BC = b\), тогда \(a + b = 14\).
• Шаг 3: Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник связан с катетами и гипотенузой следующим образом: \[r = \frac{a + b - c}{2}\] где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( c \) - гипотенуза. В данном случае \( r = 2 \) см.
• Шаг 4: Выразим гипотенузу \( c \) из формулы для радиуса: \[2 = \frac{14 - c}{2}\] \[4 = 14 - c\] \[c = 10\) см.
• Шаг 5: Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[a^2 + b^2 = 10^2 = 100\]
• Шаг 6: У нас есть система уравнений: \[\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}\] Выразим \( a \) из первого уравнения: \(a = 14 - b\) и подставим во второе уравнение: \[(14 - b)^2 + b^2 = 100\] \[196 - 28b + b^2 + b^2 = 100\] \[2b^2 - 28b + 96 = 0\] \[b^2 - 14b + 48 = 0\]
• Шаг 7: Решим квадратное уравнение относительно \( b \): Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \) Корни \( b_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( b_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
• Шаг 8: Если \( b = 8 \), то \( a = 14 - 8 = 6 \). Если \( b = 6 \), то \( a = 14 - 6 = 8 \). В любом случае, катеты равны 6 и 8 см.
• Шаг 9: Подставим значения катетов в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) см².

Ответ: 24 см²