Вопрос 8 Решить уравнение \(\frac{(a-1)x^2+ax-2}{x^2-4} = 0\) при \(a \in (-\infty, -4 - 2\sqrt{6}) \cup (-4 + 2\sqrt{6}, 1) \cup (1; 3)\). Выберите один ответ:

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения необходимо числитель приравнять к нулю, учитывая, что знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:
   \( (a-1)x^2 + ax - 2 = 0 \)
2. Условия для знаменателя:
   \( x^2 - 4 \neq 0 \)
   \( x^2 \neq 4 \)
   \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \)
3. Рассмотрим два случая для квадратного уравнения в числителе:
   1. Если \( a=1 \):
      \( (1-1)x^2 + 1x - 2 = 0 \)
      \( x - 2 = 0 \)
      \( x = 2 \)
      В этом случае корень \( x = 2 \) совпадает с одним из значений, при которых знаменатель обращается в ноль. Значит, при \( a=1 \) уравнение не имеет решений.
   2. Если \( a \neq 1 \):
      Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
      \[ D = a^2 - 4(a-1)(-2) = a^2 + 8(a-1) = a^2 + 8a - 8 \]
      Корни уравнения:
      \[ x_{1,2} = \frac{-a a^2 + 8a - 8}{2(a-1)} \]
4. Проанализируем варианты ответов:
   
   • a. \( x = \frac{1}{2} \) — это возможное значение корня, но не общая формула.
   • b. \( x_3 = x_4 = 2 + \sqrt{6} \) — это конкретное значение, которое может быть одним из корней при определенном \( a \).
   • c. Уравнение не имеет корней — это может быть верным при определенных значениях \( a \) (например, при \( a=1 \) или если \( D < 0 \) и при этом корни не совпадают с \( 2 \) и \( -2 \)).
   • d. \( x_{5,6} = \frac{-a a^2 + 8a - 8}{2(a-1)} \) — это формула корней квадратного уравнения, полученная нами в пункте 3.
   • e. \( x_1 = x_2 = 2 - \sqrt{6} \) — также конкретное значение корня.
5. Сравним полученные формулы с вариантами ответов:
   Формула для корней \( x_{1,2} = \frac{-a a^2 + 8a - 8}{2(a-1)} \) соответствует варианту d.

Ответ: d.