Вопрос 8. Пользуясь данным рисунком, укажите разложение вектора \(\vec{x}\) по векторам \(\vec{a},\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

По рисунку \(\vec{a}=\overrightarrow{DA}\), \(\vec{b}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{c}=\overrightarrow{AC}\), а отметки показывают, что \(K\) — середина отрезка \(CB\).

Так как \(\overrightarrow{DB}=\vec{a}+\vec{b}\) и \(\overrightarrow{DC}=\vec{a}+\vec{c}\), вектор к середине отрезка равен полусумме векторов к его концам:

\[\vec{x}=\overrightarrow{DK}=\frac{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{c})}{2}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}.\]

Ответ: \(\vec{x}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\) (третий вариант).