ВОПРОС 8: Площадь фигуры, изображенной на рисунке, равна

Решение:

Площадь фигуры, закрашенной на графике, можно найти с помощью определенного интеграла. Фигура ограничена сверху функцией \( y = \frac{2}{x} \), снизу — осью \( Ox \) (т.е. \( y = 0 \)). Пределы интегрирования определяются по оси \( Ox \). Левый предел — \( x=1 \) (по условию графика), правый предел — \( x=4 \) (поскольку площадь закрашена до точки, где \( y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \), и это соответствует \( x=4 \) на графике).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} dx \]\[ S = 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx \]\[ S = 2 \left[ \ln|x| \right]_{1}^{4} \]\[ S = 2 (\ln(4) - \ln(1)) \]\[ S = 2 (\ln(4) - 0) \]\[ S = 2 \ln(4) \]

Используя свойство логарифмов \( a \ln b = \ln b^a \):

\[ S = \ln(4^2) = \ln(16) \]

Также можно упростить \( \ln(4) \) как \( \ln(2^2) = 2 \ln(2) \), тогда:

\[ S = 2 \cdot (2 \ln(2)) = 4 \ln(2) \]

Среди предложенных вариантов ответа: 2.7, 4ln2, ln4 - ln1.

Наш результат \( 4 \ln(2) \) совпадает с одним из вариантов.

Ответ: 4ln2