Контрольные задания
Вопрос:

Вопрос 5 Решить неравенство x-a+1 ----≤ 0 при a > 1/3 x+2a Выберите один ответ: a. x ∈ (-2a, a - 1] b. нет верных ответов c. x ∈ [a - 1,-2a) d. множество решений пусто

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение неравенства (Вопрос 5)

Нам нужно решить неравенство \( \frac{x-a+1}{x+2a} \leq 0 \) при условии \( a > \frac{1}{3} \).

  1. Найдем корни числителя и знаменателя:
    • Числитель: \( x - a + 1 = 0 \Rightarrow x = a - 1 \).
    • Знаменатель: \( x + 2a = 0 \Rightarrow x = -2a \).
  2. Рассмотрим два случая, учитывая условие \( a > \frac{1}{3} \).
    • Случай 1: \( a - 1 < -2a \). Это условие выполняется, когда \( 3a < 1 \), то есть \( a < \frac{1}{3} \). Но по условию \( a > \frac{1}{3} \), значит, этот случай невозможен.
    • Случай 2: \( a - 1 > -2a \). Это условие выполняется, когда \( 3a > 1 \), то есть \( a > \frac{1}{3} \). Этот случай соответствует условию задачи.
  3. В случае \( a > \frac{1}{3} \) имеем \( -2a < a - 1 \).
  4. Отметим корни на числовой прямой: \( -2a \) и \( a - 1 \). Знаменатель \( x = -2a \) не входит в решение. Числитель \( x = a - 1 \) входит в решение, так как неравенство нестрогое (\( \leq \)).
  5. Разобьем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, -2a) \), \( (-2a, a - 1] \), \( (a - 1, \infty) \).
  6. Проверим знаки выражения \( \frac{x-a+1}{x+2a} \) на каждом интервале:
    • При \( x < -2a \) (например, \( x = -3a \)): \( \frac{-3a-a+1}{-3a+2a} = \frac{-4a+1}{-a} = \frac{4a-1}{a} \). Так как \( a > \frac{1}{3} \), то \( 4a-1 > 0 \) и \( a > 0 \), значит, дробь положительна.
    • При \( -2a < x < a - 1 \) (например, \( x = \frac{-2a + a-1}{2} = \frac{-a-1}{2} \)): \( \frac{\frac{-a-1}{2}-a+1}{\frac{-a-1}{2}+2a} = \frac{\frac{-a-1+2}{2}}{\frac{-a-1+4a}{2}} = \frac{-a+1}{3a-1} \). Так как \( a > \frac{1}{3} \), то \( -a+1 > 0 \) и \( 3a-1 > 0 \), значит, дробь положительна.
    • При \( x > a - 1 \) (например, \( x = a \)): \( \frac{a-a+1}{a+2a} = \frac{1}{3a} \). Так как \( a > \frac{1}{3} \), то \( 3a > 0 \), значит, дробь положительна.
  7. Мы искали, где выражение \( \leq 0 \). Получается, что при \( a > \frac{1}{3} \) такого интервала нет.
  8. Стоит перепроверить знаки.
    • Пусть \( x \) очень большое положительное число, \( x \to \infty \), тогда \( \frac{x}{x} = 1 > 0 \).
    • Пусть \( x \) очень большое отрицательное число, \( x \to -\infty \), тогда \( \frac{x}{x} = 1 > 0 \).
    • Интервал \( (-2a, a-1) \). Возьмем \( x = 0 \) (так как \( a > 1/3 \) => \( -2a < 0 < a-1 \)). \( \frac{0-a+1}{0+2a} = \frac{1-a}{2a} \). Если \( 1/3 < a < 1 \), то \( 1-a > 0 \) и \( 2a > 0 \), дробь положительна. Если \( a = 1 \), то \( 1-a=0 \), дробь равна 0. Если \( a > 1 \), то \( 1-a < 0 \), дробь отрицательна.
    • Проверим условие \( a > 1/3 \).
    • Если \( 1/3 < a < 1 \), то \( -2a < 0 < a-1 \). Точки \( -2a \) и \( a-1 \). Расставим знаки: (+), (-), (+). Нужен знак \( \leq 0 \), то есть \( (-2a, a-1] \).
    • Если \( a = 1 \), то \( x = a-1 = 0 \), \( x = -2a = -2 \). \( \frac{x}{x+2} \leq 0 \). \( x \notin [-2, 0] \). \( x \notin (-2, 0] \). \( x \notin [-2, 0) \). \( x \notin (-2, 0) \). \( x \notin \{-2, 0\} \). \( x \notin \{-2, 0\} \). \( x \notin [-2, 0] \). \( x \notin \{-2\} \). \( x=0 \) -> 0. \( x=-2 \) -> undefined. \( \frac{x}{x+2} \leq 0 \). \( x=0 \) is a solution. \( x = -2 \) is not. Interval \( (-2, 0] \).
    • Если \( a > 1 \), то \( a-1 > 0 \) и \( -2a < 0 \). Точки \( -2a \) и \( a-1 \). \( -2a < 0 < a-1 \). Знаки: (+), (-), (+). Нужен знак \( \leq 0 \), то есть \( (-2a, a-1] \).
  9. Итак, при \( a > \frac{1}{3} \) верным является интервал \( (-2a, a-1] \).

Ответ: a. x ∈ (-2a, a - 1]

📄 Все ответы📸 Решить моё задание