Вопрос 5 (5 баллов) Площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 5, y = 2, x = -1, x = -2 вычисляется по формуле:

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), используется формула:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]

В данном случае, у нас есть две функции \( f(x) = x^2 + 5 \) и \( g(x) = 2 \), а пределы интегрирования \( a = -2 \) и \( b = -1 \).

На отрезке \( [-2, -1] \), \( x^2 \) принимает значения от \( 4 \) до \( 1 \). Следовательно, \( x^2 + 5 \) принимает значения от \( 9 \) до \( 6 \).

Таким образом, \( x^2 + 5 \) всегда больше \( 2 \) на данном отрезке, то есть \( f(x) > g(x) \).

Формула площади будет:

\[ S = \int_{-2}^{-1} ((x^2 + 5) - 2) dx = \int_{-2}^{-1} (x^2 + 3) dx \]

Среди предложенных вариантов, наиболее общая формула, которая может быть применена для вычисления площади между двумя кривыми, является:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

где \( f(x) \) — верхняя граница, а \( g(x) \) — нижняя граница.

Ответ: S = \( \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)