Вопрос 4 (5 баллов) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 5, осью Ох, x = -1, x = -2

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 5 \), осью \( Ox \) (что означает \( y = 0 \)), а также вертикальными прямыми \( x = -1 \) и \( x = -2 \), необходимо взять определённый интеграл от функции \( y = x^2 + 5 \) в пределах от -2 до -1.

Формула для площади:

\[ S = \int_{-2}^{-1} (x^2 + 5) dx \]

1. Находим первообразную для функции \( x^2 + 5 \):

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 5x \]

2. Вычисляем значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + 5(-1) = \frac{-1}{3} - 5 = -\frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{16}{3} \]

\[ F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + 5(-2) = \frac{-8}{3} - 10 = -\frac{8}{3} - \frac{30}{3} = -\frac{38}{3} \]

3. Находим разность:

\[ S = F(-1) - F(-2) = \left(-\frac{16}{3}\right) - \left(-\frac{38}{3}\right) = -\frac{16}{3} + \frac{38}{3} = \frac{38 - 16}{3} = \frac{22}{3} \]

4. Переводим дробь в смешанное число:

\[ \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \]

Ответ: 7⅓ (ед²)