Вопрос 3 Решить уравнение (а – 1)x² + 2(2a + 1)x + (4а + 3) = 0 при a > -4/5, a ≠ 1. Выберите один ответ:

Решение:

Это квадратное уравнение вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\), где \(A = a - 1\), \(B = 2(2a + 1)\), \(C = 4a + 3\).

Найдем дискриминант \(D\) по формуле \(D = B^2 - 4AC\):

\[ D = (2(2a + 1))^2 - 4(a - 1)(4a + 3) \]

\[ D = 4(4a^2 + 4a + 1) - 4(4a^2 + 3a - 4a - 3) \]

\[ D = 16a^2 + 16a + 4 - 4(4a^2 - a - 3) \]

\[ D = 16a^2 + 16a + 4 - 16a^2 + 4a + 12 \]

\[ D = 20a + 16 \]

Чтобы существовали действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным: \(D \ge 0\), то есть \(20a + 16 \ge 0\), что означает \(20a \ge -16\) или \(a \ge -16/20 = -4/5\).

Условие \(a > -4/5\) выполняется, и \(a
e 1\). Следовательно, дискриминант \(D = 20a + 16 > 0\).

Найдем корни по формуле \(x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\):

\[ x_{1,2} = \frac{-2(2a + 1) \pm \sqrt{20a + 16}}{2(a - 1)} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2(2a + 1) \pm \sqrt{4(5a + 4)}}{2(a - 1)} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2(2a + 1) \pm 2\sqrt{5a + 4}}{2(a - 1)} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(2a + 1) \pm \sqrt{5a + 4}}{a - 1} \]

Этот результат соответствует варианту a.

Ответ: a.