ВОПРОС 22: Вычислить предел функции lim x→∞ (-x^3 + 5x - 4x^2) / (5x - 2x^2 + 8)

Решение:

Чтобы вычислить предел данной функции при \( x \to \infty \), необходимо сравнить степени многочленов в числителе и знаменателе. Если степень числителя больше степени знаменателя, предел равен \( \pm \infty \). Если степень знаменателя больше степени числителя, предел равен \( 0 \). Если степени равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

В данном случае, в числителе старшая степень равна \( 3 \) (от \( -x^3 \)), а в знаменателе старшая степень равна \( 2 \) (от \( -2x^2 \)).

Так как степень числителя (3) больше степени знаменателя (2), предел будет равен \( \infty \) или \( -\infty \).

Чтобы определить знак, разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на \( x^2 \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-x^3 + 5x - 4x^2}{5x - 2x^2 + 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-x^3}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{4x^2}{x^2}}{\frac{5x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{8}{x^2}} \]\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{-x + \frac{5}{x} - 4}{\frac{5}{x} - 2 + \frac{8}{x^2}} \]\[ = \frac{-\infty + 0 - 4}{0 - 2 + 0} = \frac{-\infty}{-2} = \infty \]

Ответ: \( \infty \).