ВОПРОС 14: Вычислить предел функции lim x→∞ -x² + 5x - 4 x² - 2x - 8

Решение:

Чтобы вычислить предел функции при \( x \to \infty \), мы можем разделить числитель и знаменатель на наивысшую степень \( x \) в знаменателе, которая равна \( x^2 \).

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + 5x - 4}{x^2 - 2x - 8} $$

Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{8}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}} $$

Теперь, когда \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, а \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

$$ \frac{-1 + 0 - 0}{1 - 0 - 0} = \frac{-1}{1} = -1 $$

Ответ: -1