Вопрос 14 из 15 : В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота ВО к основанию АС. Периметр треугольника АВС равен 16, а периметр треугольника АВО равен 12. Найдите ВО.В ответе укажите только число без наименования

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) высота \( BO \) к основанию \( AC \) является также медианой. Это значит, что \( AO = OC \).

Периметр \( \triangle ABC \) равен \( AB + BC + AC \). Так как \( AB = BC \) (по условию равнобедренного \( \triangle ABC \)), то \( 2AB + AC = 16 \).

Периметр \( \triangle ABO \) равен \( AB + AO + BO \). По условию, \( AB + AO + BO = 12 \).

Так как \( AC = 2AO \), то \( 2AB + 2AO = 16 \), что означает \( AB + AO = 8 \).

Теперь подставим \( AB + AO = 8 \) во второе уравнение:

\( (AB + AO) + BO = 12 \)

\( 8 + BO = 12 \)

\( BO = 12 - 8 \)

\( BO = 4 \).

В прямоугольном \( \triangle ABO \) (так как \( BO \) — высота) мы можем найти \( AB \) и \( AO \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 \).

У нас есть \( AB + AO = 8 \), значит \( AB = 8 - AO \).

Подставим это в уравнение Пифагора:

\( (8 - AO)^2 = AO^2 + 4^2 \)

\( 64 - 16AO + AO^2 = AO^2 + 16 \)

\( 64 - 16AO = 16 \)

\( 16AO = 64 - 16 \)

\( 16AO = 48 \)

\( AO = \frac{48}{16} = 3 \).

Тогда \( AB = 8 - AO = 8 - 3 = 5 \).

Проверим периметр \( \triangle ABO \): \( AB + AO + BO = 5 + 3 + 4 = 12 \) (верно).

Проверим периметр \( \triangle ABC \): \( 2AB + AC = 2(5) + 2(3) = 10 + 6 = 16 \) (верно).

Значение высоты \( BO \) равно 4.

Ответ: 4