ВОПРОС 13: Вычислить неопределенный интеграл ∫(e^4x - cos 2x)dx

Решение:

Для вычисления неопределенного интеграла \( \int (e^{4x} - \cos 2x) dx \) применим свойство линейности интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое отдельно:

1. Интеграл от экспоненциальной функции: \( \int e^{4x} dx \). Заменим \( u = 4x \), тогда \( du = 4 dx \), то есть \( dx = \frac{1}{4} du \). Подставляем: \( \int e^u \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C_1 = \frac{1}{4} e^{4x} + C_1 \).
2. Интеграл от косинуса: \( \int \cos 2x dx \). Заменим \( v = 2x \), тогда \( dv = 2 dx \), то есть \( dx = \frac{1}{2} dv \). Подставляем: \( \int \cos v \cdot \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int \cos v dv = \frac{1}{2} \sin v + C_2 = \frac{1}{2} \sin 2x + C_2 \).
3. Объединяем результаты: \( \int (e^{4x} - \cos 2x) dx = \frac{1}{4} e^{4x} - \frac{1}{2} \sin 2x + C \), где \( C = C_1 - C_2 \) — произвольная постоянная.

Сравнивая с предложенными вариантами:

• 0,25e^4x - 0,5 sin 2x + C
• 4e^4x - 2 sin 2x + C
• e^4x - sin 2x + C
• e^4x + sin 2x + C

Видим, что первый вариант соответствует полученному результату, так как \( \frac{1}{4} = 0,25 \) и \( \frac{1}{2} = 0,5 \).

Ответ: 0,25e^4x - 0,5 sin 2x + C