Вопрос 11 из 15 : СМ – биссектриса треугольника АВС, СМ = МВ, угол АСВ равен 460. Найдите градусную меру угла А (в ответе укажите только число без наименования).

Решение:

В условии задачи указано, что угол АСВ равен 460. Угол в треугольнике не может быть больше 180 градусов. Вероятно, в условии опечатка, и подразумевался угол, равный 46 градусам.

Пусть \( \angle ACB = 46^{\circ} \).

СМ — биссектриса угла С. Следовательно, \( \angle ACM = \angle BCM = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 46^{\circ} = 23^{\circ} \).

В треугольнике СМВ имеем: \( \angle CMB = 180^{\circ} - \angle CBM - \angle BCM = 180^{\circ} - \angle B - 23^{\circ} \).

Также, \( \angle CMB \) и \( \angle CMA \) — смежные углы, значит, \( \angle CMA + \angle CMB = 180^{\circ} \).

По условию \( CM = MB \), значит, треугольник СМВ — равнобедренный. Отсюда \( \angle MCB = \angle MBC = \angle B = 23^{\circ} \).

Теперь найдём \( \angle ACB \) из этого условия: \( \angle ACB = 2 · \angle MCB = 2 · 23^{\circ} = 46^{\circ} \). Это совпадает с первоначальным предположением.

Сумма углов в треугольнике АВС: \( \angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ} \).

\( \angle A + 23^{\circ} + 46^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 23^{\circ} - 46^{\circ} \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 69^{\circ} \).

\( \angle A = 111^{\circ} \).

Ответ: 111