ВОПРОС 10: Функция y = 5x^2 1-2x^4 является

Решение:

Для анализа функции \( y = \frac{5x^2}{1-2x^4} \) необходимо определить её свойства, такие как область определения, чётность/нечётность, периодичность, точки экстремума и т.д.

1. Область определения:

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( 1 - 2x^4 \neq 0 \)

\( 2x^4 \neq 1 \)

\( x^4 \neq \frac{1}{2} \)

\( x \neq \pm \sqrt[4]{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \)

Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \right\} \). Функция определена для всех действительных чисел, кроме \( \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \).

2. Чётность/Нечётность:

Проверим значение \( y(-x) \):

\( y(-x) = \frac{5(-x)^2}{1-2(-x)^4} = \frac{5x^2}{1-2x^4} \)

Так как \( y(-x) = y(x) \), функция является чётной.

3. Периодичность:

Функция не является периодической, так как отсутствует параметр \( T \) такой, что \( y(x+T) = y(x) \) для всех \( x \) из области определения.

4. Анализ поведения:

Поскольку функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат (оси Y).

5. Производная (для анализа монотонности и экстремумов):

\( y' = \frac{(5x^2)'(1-2x^4) - (5x^2)(1-2x^4)'}{(1-2x^4)^2} \)

\( y' = \frac{10x(1-2x^4) - 5x^2(-8x^3)}{(1-2x^4)^2} \)

\( y' = \frac{10x - 20x^5 + 40x^5}{(1-2x^4)^2} \)

\( y' = \frac{10x + 20x^5}{(1-2x^4)^2} = \frac{10x(1 + 2x^4)}{(1-2x^4)^2} \)

Приравниваем производную к нулю: \( 10x(1 + 2x^4) = 0 \).

Так как \( 1 + 2x^4 \) всегда положительно, то \( x = 0 \) является единственной критической точкой.

При \( x < 0 \) (и \( x \) в области определения), \( y' < 0 \) (функция убывает).

При \( x > 0 \) (и \( x \) в области определения), \( y' > 0 \) (функция возрастает).

Следовательно, в точке \( x = 0 \) функция имеет минимум.

Значение функции в минимуме: \( y(0) = \frac{5(0)^2}{1-2(0)^4} = 0 \).

Вывод: Функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.