Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение:

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду. Пусть сторона основания пирамиды равна \( a \), а высота равна \( h \).

1. Конус, описанный около пирамиды:

Основание этого конуса — окружность, описанная около квадрата (основания пирамиды). Радиус \( R \) этой окружности равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} \).

Радиус основания конуса \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

Высота конуса равна высоте пирамиды: \( h \).

Объем описанного конуса: \( V_{\text{опис}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{2} h = \frac{\pi a^2 h}{6} \).

2. Конус, вписанный в пирамиду:

Основание этого конуса — окружность, вписанная в квадрат (основание пирамиды). Радиус \( r \) этой окружности равен половине стороны квадрата.

Радиус основания конуса \( r = \frac{a}{2} \).

Высота конуса равна высоте пирамиды: \( h \).

Объем вписанного конуса: \( V_{\text{впис}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} h = \frac{\pi a^2 h}{12} \).

3. Отношение объемов:

Чтобы узнать, во сколько раз объем описанного конуса больше объема вписанного, найдем отношение \( \frac{V_{\text{опис}}}{V_{\text{впис}}} \).

\[ \frac{V_{\text{опис}}}{V_{\text{впис}}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{6}}{\frac{\pi a^2 h}{12}} = \frac{\pi a^2 h}{6} \cdot \frac{12}{\pi a^2 h} = \frac{12}{6} = 2 \]

Ответ: в 2 раза