Во сколько раз необходимо увеличить массу каждого из однородных одинаковых шаров, чтобы сила тяготения между ними увеличилась в 4 раза при неизменном расстоянии между ними?

Ответ: в 2 раза

Пошаговое решение:

• Закон всемирного тяготения описывается формулой: \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \], где:
  • \( F \) - сила тяготения,
  • \( G \) - гравитационная постоянная,
  • \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы тел,
  • \( r \) - расстояние между телами.
• Пусть начальные массы шаров равны \( m \), тогда начальная сила тяготения равна: \[ F_1 = G \frac{m^2}{r^2} \]
• Необходимо увеличить силу тяготения в 4 раза, то есть новая сила будет равна: \[ F_2 = 4F_1 = 4G \frac{m^2}{r^2} \]
• Пусть массу каждого шара нужно увеличить в \( x \) раз, тогда новые массы будут равны \( xm \ ). Новая сила тяготения будет: \[ F_2 = G \frac{(xm)^2}{r^2} = G \frac{x^2 m^2}{r^2} \]
• Приравниваем выражения для новой силы: \[ 4G \frac{m^2}{r^2} = G \frac{x^2 m^2}{r^2} \]
• Сокращаем одинаковые члены: \[ 4 = x^2 \]
• Извлекаем квадратный корень: \[ x = \sqrt{4} = 2 \]
• Таким образом, массу каждого шара необходимо увеличить в 2 раза.

Ответ: в 2 раза