VII. Задание для домашней работы. Решить задачи: 1.Марина решила послать 7 смайликов 7 подругам. Сколькими способами она может это сделать? 2. Каждая команда на регате должна иметь двухцветный флаг- круг одного цвета на полотнище другого цвета. Сколько различных флагов можно составить, используя ткань 7 цветов? 3. Пять юношей и три девушки купили 8билетов в кинотеатр. (Места в одном ряду идут подряд). Сколькими способами они могут разместиться, если девушки хотят сидеть обязательно рядом? 4. Сколькими способами можно распределить 3 различные путёвки между 25 рабочими?

Решение:

1. Задача 1:

   Это задача на перестановки, так как мы располагаем 7 разных смайликов для 7 подруг. Количество способов равно числу перестановок из 7 элементов:

   \( P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \) способов.

2. Задача 2:

   Для флага нужно выбрать 2 цвета из 7. Порядок выбора цветов не имеет значения (круг одного цвета на полотнище другого - это то же самое, что круг другого цвета на полотнище первого, если мы говорим о составе флага, а не о его ориентации). Значит, это задача на сочетания.

   \( C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21 \) способ.

3. Задача 3:

   Сначала рассмотрим 3 девушек как один блок, так как они хотят сидеть рядом. Тогда у нас есть 5 юношей и 1 блок из девушек, всего 6 объектов для размещения. Количество способов разместить эти 6 объектов равно \( P_6 = 6! \).

   Внутри блока из 3 девушек они могут поменяться местами \( P_3 = 3! \) способами.

   Общее количество способов размещения равно произведению:

   \( 6! \times 3! = (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 720 \times 6 = 4320 \) способов.

4. Задача 4:

   Это задача на размещение, так как мы распределяем 3 различные путёвки между 25 рабочими. Каждая путёвка может достаться разному рабочему, и порядок распределения имеет значение (путёвка 1 рабочему А отличается от путёвки 2 рабочему А, а если путёвка 1 досталась рабочему А, а путёвка 2 рабочему Б, это отличается от случая, когда путёвка 1 досталась рабочему Б, а путёвка 2 рабочему А).

   Количество способов равно числу размещений из 25 по 3:

   \( A_{25}^3 = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = 25 \times 24 \times 23 = 13800 \) способов.

Ответ: 1. 5040 способов; 2. 21 способ; 3. 4320 способов; 4. 13800 способов.