VII. Задание для домашней работы. Решить задачи: 1. Марина решила послать 7 смайликов 7 подругам. Сколькими способами она может это сделать? 2. Каждая команда на регате должна иметь двухцветный флаг- круг одного цвета на полотнище другого цвета. Сколько различных флагов можно составить, используя ткань 7 цветов? 3. Пять юношей и три девушки купили 8 билетов в кинотеатр. (Места в одном ряду идут подряд). Сколькими способами они могут разместиться, если девушки хотят сидеть обязательно рядом? 4. Сколькими способами можно распределить 3 различные путёвки между 25 рабочими?

Решение:

1. Задача 1

   Чтобы Марина послала 7 смайликов 7 подругам, нужно найти количество способов, которыми можно распределить 7 различных смайликов между 7 подругами. Это задача на перестановку 7 элементов. Количество способов равно 7! (7 факториал).

   \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \)

2. Задача 2

   Для создания двухцветного флага нужно выбрать один цвет для круга и один цвет для полотнища из 7 доступных цветов. Порядок выбора цветов важен (красный круг на синем полотнище отличается от синего круга на красном полотнище). Это задача на размещение из 7 по 2.

   Количество способов равно \( P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \)

3. Задача 3

   В задаче участвуют 5 юношей и 3 девушки. Всего 8 человек. Они покупают 8 билетов в кинотеатр, места идут подряд. Условие: девушки хотят сидеть обязательно рядом. Рассматриваем 3 девушек как один блок. Тогда у нас есть 5 юношей и 1 блок девушек, всего 6 объектов для размещения. Количество способов разместить эти 6 объектов равно \( 6! \). Внутри блока девушек они могут пересаживаться между собой \( 3! \) способами. Общее количество способов:

   \( 6! \times 3! = (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 720 \times 6 = 4320 \)

4. Задача 4

   Нужно распределить 3 различные путёвки между 25 рабочими. Каждый рабочий может получить не более одной путёвки. Это задача на размещение, где мы выбираем 3 рабочих из 25 и присваиваем им различные путёвки.

   Количество способов равно \( P(25, 3) = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = 25 \times 24 \times 23 = 13800 \)

Ответ: 1. 5040 способов. 2. 42 флага. 3. 4320 способов. 4. 13800 способов.