Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Question

Accepted Answer

Обозначим скорость катера в стоячей воде как \( v_к \) (км/ч), а скорость течения реки весной как \( v_т \) (км/ч).

Весной:

Скорость катера против течения: \( v_к - v_т \).
Скорость катера по течению: \( v_к + v_т \).
По условию, весной катер идёт против течения в \( 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) раза медленнее, чем по течению. Это означает, что скорость по течению в \( \frac{5}{3} \) раза больше скорости против течения:

\[ v_к + v_т = \frac{5}{3}(v_к - v_т) \]

Раскроем скобки:

\[ v_к + v_т = \frac{5}{3}v_к - \frac{5}{3}v_т \]

Приведём к общему знаменателю 3:

\[ 3(v_к + v_т) = 5(v_к - v_т) \]

\[ 3v_к + 3v_т = 5v_к - 5v_т \]

Перенесём члены с \( v_к \) в правую часть, а с \( v_т \) — в левую:

\[ 3v_т + 5v_т = 5v_к - 3v_к \]

\[ 8v_т = 2v_к \]

Отсюда выразим скорость катера через скорость течения:

\[ v_к = 4v_т \]

Летом:

Скорость течения летом: \( v_т - 1 \) (км/ч).
Скорость катера против течения летом: \( v_к - (v_т - 1) = v_к - v_т + 1 \).
Скорость катера по течению летом: \( v_к + (v_т - 1) = v_к + v_т - 1 \).
По условию, летом катер идёт против течения в \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) раза медленнее, чем по течению.

\[ v_к + v_т - 1 = \frac{3}{2}(v_к - v_т + 1) \]

Подставим \( v_к = 4v_т \) в это уравнение:

\[ 4v_т + v_т - 1 = \frac{3}{2}(4v_т - v_т + 1) \]

\[ 5v_т - 1 = \frac{3}{2}(3v_т + 1) \]

Умножим обе части на 2:

\[ 2(5v_т - 1) = 3(3v_т + 1) \]

\[ 10v_т - 2 = 9v_т + 3 \]

Перенесём члены с \( v_т \) влево, а константы вправо:

\[ 10v_т - 9v_т = 3 + 2 \]

\[ v_т = 5 \]

Скорость течения весной равна 5 км/ч.

Проверим скорость катера:

\[ v_к = 4v_т = 4 × 5 = 20 \] км/ч.

Весной:

Летом:

Ответ: 5 км/ч.