Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.

Решение:

Пусть точка O — центр окружности. Так как AB — диаметр, то O является серединой AB.

Все вершины треугольника ABC лежат на окружности, значит, это вписанный треугольник.

Рассмотрим треугольник ABC:

• Угол C: Угол, вписанный в окружность, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, \( \angle C = 90^{\circ} \).
• Углы A и B: Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то сумма углов \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
• Если бы \( \angle A \) или \( \angle B \) были равны \( \angle C \) (т.е. \( 90^{\circ} \)), то сумма двух углов была бы \( 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \), что невозможно для треугольника.
• Поскольку \( \angle A \) и \( \angle B \) — углы прямоугольного треугольника, они являются острыми (меньше \( 90^{\circ} \)).
• Таким образом, \( \angle C \) (прямой угол) всегда больше острого угла \( \angle A \) и острого угла \( \angle B \).

Вывод: Если AB — диаметр окружности, то вписанный угол C, опирающийся на диаметр, равен 90°, а углы A и B являются острыми, значит \( \angle C > \angle A \) и \( \angle C > \angle B \).