Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 1:3:5. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

Пусть градусные меры дуг, на которые опираются стороны треугольника, равны \( k \), \( 3k \) и \( 5k \).

Сумма углов в окружности составляет \( 360^{\circ} \).

Составим уравнение:

\( k + 3k + 5k = 360^{\circ} \)

\( 9k = 360^{\circ} \)

\( k = \frac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ} \)

Таким образом, градусные меры дуг равны:

• Первая дуга: \( 40^{\circ} \)
• Вторая дуга: \( 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ} \)
• Третья дуга: \( 5 \times 40^{\circ} = 200^{\circ} \)

Вписанные углы треугольника равны половине градусной меры дуги, на которую они опираются:

• Угол А (опирается на дугу 120°): \( \angle A = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \)
• Угол B (опирается на дугу 200°): \( \angle B = \frac{200^{\circ}}{2} = 100^{\circ} \)
• Угол C (опирается на дугу 40°): \( \angle C = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \)

Проверка: \( 60^{\circ} + 100^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 60°, 100° и 20°.