Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа Х попаданий при двадцати выстрелах.

Решение:

Обозначим вероятность попадания в цель при одном выстреле как \( p \). Вероятность промаха тогда составит \( q = 1 - p \).

Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок не попадёт в цель ни разу, равна \( q^3 \).

По условию, вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Это означает, что вероятность того, что стрелок не попадёт ни разу, равна \( 1 - 0.992 = 0.008 \).

Итак, \( q^3 = 0.008 \). Извлекая кубический корень, получаем \( q = \sqrt[3]{0.008} = 0.2 \).

Теперь найдём вероятность попадания \( p \): \( p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8 \).

Для двадцати выстрелов (при \( n = 20 \)) мы имеем дело с биномиальным распределением, где:

• Математическое ожидание \( MX \) равно \( n · p \).
• Дисперсия \( DX \) равна \( n · p · q \).

Рассчитаем математическое ожидание:

\[ MX = 20 · 0.8 = 16 \]

Рассчитаем дисперсию:

\[ DX = 20 · 0.8 · 0.2 = 16 · 0.2 = 3.2 \]

Таким образом, математическое ожидание равно 16, а дисперсия равна 3,2.

Ответ: MX=16, DX=3,2