Верно ли, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 можно расставить так, чтобы сумма чисел вдоль каждой стороны треугольника была равна 12? 13?

Обозначим числа в вершинах треугольника как угловые, а остальные три числа — как расположенные на серединах сторон.

Сумма 12 — да, можно. Расставим числа так: в верхнюю вершину — 4, в левую нижнюю — 5, в правую нижнюю — 6; на середины левой, нижней и правой сторон — соответственно 3, 1 и 2.

Проверка: левая сторона — 4 + 3 + 5 = 12; нижняя — 5 + 1 + 6 = 12; правая — 6 + 2 + 4 = 12.

Сумма 13 — нет, нельзя. При сложении сумм на всех трёх сторонах каждое число учитывается один раз, кроме чисел в вершинах: они учитываются дважды. Поэтому общая сумма трёх сторон равна 21 плюс сумма чисел в вершинах. Если каждая сторона должна давать 13, сумма сторон равна 39, значит, сумма чисел в вершинах должна быть 39 − 21 = 18. Но наибольшая возможная сумма трёх различных чисел из 1, 2, 3, 4, 5, 6 равна 6 + 5 + 4 = 15. Получить 18 невозможно.

Ответ: 12 — да; 13 — нет.