8. ВЕ и BF - соответственно биссектрисы смежных углов ABD и DBC. Найти углы треугольника BEF, если известно, что два его меньших угла пропорциональны числам 1, 5.

Т.к. углы ABD и DBC смежные, то их сумма равна 180°: ∠ABD + ∠DBC = 180°.

BE и BF - биссектрисы углов ABD и DBC, следовательно, ∠EBD = 1/2 * ∠ABD и ∠DBF = 1/2 * ∠DBC.

∠EBF = ∠EBD + ∠DBF = 1/2 * ∠ABD + 1/2 * ∠DBC = 1/2 * (∠ABD + ∠DBC) = 1/2 * 180° = 90°.

Таким образом, ∠EBF = 90°.

Пусть меньшие углы треугольника BEF пропорциональны числам 1 и 5, то есть ∠BEF = x, а ∠BFE = 5x.

Сумма углов треугольника равна 180°: ∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180°.

$$90° + x + 5x = 180°$$

$$6x = 90°$$

$$x = 15°$$

Значит, ∠BEF = 15°, а ∠BFE = 5 * 15° = 75°.

Ответ: ∠EBF = 90°, ∠BEF = 15°, ∠BFE = 75°.