1 вариант Самостоятельная работа по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» 1.Из утверждений отметьте верные: а) если все углы треугольника тупые, то он называется тупоугольным; Б)катет, лежащий напротив угла в 300 равен половине гипотенузы; в)в треугольнике против большей стороны лежит меньший угол; г) каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон; д)расстоянием от точки до прямой считается длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой: е)если один из углов в прямоугольном треугольнике равен 45°, то этот треугольник будет равнобедренным. 2. Для номера зависимости между сторонами треугольника АВС поставьте в соответствие букву, с верным значением угла С для данной зависимости. 1 2 3 4 AB>AC>BC, <B=30° AB>AC=BC, <A=45° AB=AC=BC AB=AC<BC <C=60° <С-тупой < С- острый <С - прямой A Б B Г 3. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Одна сторона треугольника равна 20 см, а периметр треугольника равен 50 см. Найдите две другие стороны треугольника. 4. Высота, проведенная из вершины угла А равнобедренного треугольника АВС к основанию ВС равна 6 см, а боковая сторона треугольника равна 12 см. Найдите углы данного треугольника. 5.Две стороны в треугольнике равны 2 см и 3 см. Запишите целые допустимые значения для третьей стороны..

1. Выбор верных утверждений:

• а) Неверно. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.
• б) Неверно. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• в) Неверно. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
• г) Неверно. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
• д) Верно. Расстояние от точки до прямой считается длиной перпендикуляра, соединяющего эту точку с прямой.
• е) Верно. Если один из углов в прямоугольном треугольнике равен 45°, то другой острый угол тоже равен 45°, следовательно, этот треугольник равнобедренный.

2. Соответствие между сторонами треугольника и углом C:

• 1. AB > AC > BC, ∠B = 30° - Соответствует варианту Б) ∠C - тупой (так как против большей стороны AB лежит больший угол C).
• 2. AB > AC = BC, ∠A = 45° - Соответствует варианту Г) ∠C - прямой (так как углы при основании AC и BC равны, и угол A равен 45°, то и угол B равен 45°, а угол C равен 90°).
• 3. AB = AC = BC - Соответствует варианту А) ∠C = 60° (так как все стороны равны, треугольник равносторонний, и все углы равны 60°).
• 4. AB = AC < BC - Соответствует варианту B) ∠C - острый (так как против большей стороны BC лежит больший угол A, и AB = AC, углы B и C равны и меньше угла A, следовательно, они острые).

3. Нахождение двух других сторон треугольника:

Пусть две другие стороны треугольника равны x и y. Одна сторона равна 20 см, периметр 50 см. Тогда:

x + y + 20 = 50

x + y = 30

Так как два внешних угла при разных вершинах равны, треугольник равнобедренный. Если углы при стороне длиной 20 см равны, то x = y. Значит:

2x = 30

x = 15

Две другие стороны треугольника равны 15 см.

4. Нахождение углов равнобедренного треугольника:

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является медианой. Обозначим половину основания за x. Тогда, по теореме Пифагора:

12² = 6² + x²

144 = 36 + x²

x² = 108

x = \(6\sqrt{3}\)

Основание BC = \(2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)

Теперь найдем углы. Угол при основании можно найти через тангенс:

tan(∠B) = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

∠B = 30°

∠C = 30°

∠A = 180° - 30° - 30° = 120°

Углы треугольника: ∠A = 120°, ∠B = 30°, ∠C = 30°.

5. Допустимые значения для третьей стороны:

Две стороны треугольника равны 2 см и 3 см. Пусть третья сторона равна z. По неравенству треугольника:

• z < 2 + 3
• z > 3 - 2

Значит, 1 < z < 5. Целые допустимые значения для третьей стороны: 2, 3, 4 см.