Вариант Часть 1 1. В параллелограмме стороны равны 3 и 4. Найдите периметр параллелограмма. 1) 14 2)21 3)7 4) 18 2. Найдите оставшиеся углы ромба, если один угол равен 60°. 1) 60°; 120°; 120° Найдите его периметр, если периметр 2) 115°; 115°; 60° 3) 60°: 150°; 150° 4) 60°; 130°; 130° 3. ABCD - параллелограмм. PABD = 25 и BD = 10. 1)20 2)50 3)40 4)30 4. В параллелограмме один из углов 45°. Найдите величину угла, противоположного данному. 1)65° 2) 135° 3)90° 4)45° 5. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона в 3 раза меньше другой, а периметр параллелограмма равен 40. 1) 15; 6 2)15; 5 3) 10; 5 4)27; 9 Часть 2 6. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 7, один из углов равен 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции. 7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник. 2) Если один из углов ромба 47°, то другой угол 93°. 3) Высоты, проведённые из одной вершины ромба, равны. 4) Если один из углов параллелограмма острый, то и любой другой - острый. 5) Если один из углов равнобедренной трапеции тупой, то противоположный ему угол - острый. Часть 3 8. Докажите, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. 9. Стороны параллелограмма равны 8 и 3. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих отрезков.

Часть 1

1. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, периметр равен $$2 cdot (3+4) = 2 cdot 7 = 14$$. Ответ: 1) 2. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если один угол равен 60°, то противоположный ему угол также равен 60°. Два других угла будут равны $$180° - 60° = 120°$$. Ответ: 1) 60°; 120°; 120° 3. В параллелограмме ABCD, периметр треугольника ABD равен $$P_{ABD} = AB + AD + BD = 25$$. Известно, что $$BD = 10$$, значит, $$AB + AD = 25 - 10 = 15$$. Периметр параллелограмма равен $$P_{ABCD} = 2 cdot (AB + AD) = 2 cdot 15 = 30$$. Ответ: 4) 30 4. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, угол, противоположный углу в 45°, также равен 45°. Ответ: 4) 45° 5. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$, тогда другая сторона равна $$3x$$. Периметр параллелограмма равен $$2 cdot (x + 3x) = 40$$. Значит, $$8x = 40$$, откуда $$x = 5$$. Другая сторона равна $$3 cdot 5 = 15$$. Ответ: 3) 10; 5

Часть 2

6. В прямоугольной трапеции один из углов равен 60°. Тогда другой угол при том же основании равен $$180° - 60° = 120°$$. Большая боковая сторона трапеции является гипотенузой прямоугольного треугольника с углом 60° и катетом, равным разности оснований: $$12 - 7 = 5$$. Большая боковая сторона равна $$ rac{5}{sin 60°} = rac{5}{rac{sqrt{3}}{2}} = rac{10}{sqrt{3}} = rac{10sqrt{3}}{3}$$. 7. Укажем верные утверждения: * 1) Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Это верное утверждение. * 2) Если один из углов ромба 47°, то другой угол 93°. Это неверное утверждение, так как противоположный угол ромба должен быть равен 47°, а прилежащий к этой же стороне - $$180^circ - 47^circ = 133^circ $$. * 3) Высоты, проведённые из одной вершины ромба, равны. Это верное утверждение. * 4) Если один из углов параллелограмма острый, то и любой другой — острый. Это неверное утверждение, так как противоположный угол острый, а прилежащие углы тупые. * 5) Если один из углов равнобедренной трапеции тупой, то противоположный ему угол - острый. Это неверное утверждение. У равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Значит, если один угол тупой, то и другой угол при том же основании будет тупой. Ответ: 1) Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник; 3) Высоты, проведённые из одной вершины ромба, равны.

Часть 3

8. Доказательство: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Поскольку все стороны ромба равны, эти треугольники равны по двум катетам. Следовательно, диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. 9. Стороны параллелограмма равны 8 и 3. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих отрезков. Пусть параллелограмм ABCD, где AB = CD = 8 и BC = AD = 3. Проведём биссектрисы углов A и B, которые пересекают сторону CD в точках E и F соответственно. Так как AE и BF - биссектрисы, то углы CAE и BDF равны. Треугольники ABE и BCF равнобедренные, следовательно, AE = BE = 3. Пусть CE = x и FD = y. Тогда EF = 8 - x - y. Рассмотрим треугольники ADE и BCF. Они подобны, так как углы ADE и BCF равны, а углы DAE и CBF также равны. Следовательно, отношения сторон равны: $$\frac{AD}{BC} = \frac{DE}{CF} = \frac{AE}{BF}$$ Так как AD = BC = 3, AE = BF = 3, то DE = CF = x = y. Тогда EF = 8 - 2x. Рассмотрим треугольник ABE. Он равнобедренный, следовательно, угол ABE равен углу BAE. Так как AE - биссектриса, то угол BAE равен углу EAD. Значит, угол ABE равен углу EAD. Рассмотрим треугольник ADE. Он также равнобедренный, следовательно, AD = DE = 3. Так как DE = x = 3, то CE = 3, FD = 3, EF = 8 - 2 * 3 = 2. Ответ: Длины отрезков равны 3, 3 и 2.