Контрольные задания > Вариант №1 Задание №1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² - 3x-4, y = x - 4; б) y = x²-4, y = -(x + 2)²; в)y = √x + 1, y = 0, x = 4, x = 9 Задание №2. Вычислить объем тела вращения, полученный при вращении кривой: a) y = 3sinx, y = 0, x₁ = 0, x₂ = π/2 вокруг оси ОХ; б) y = 1 - √x, y₁ = 0, y2 = 1 вокруг оси ΟУ.
Вопрос:

Вариант №1 Задание №1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² - 3x-4, y = x - 4; б) y = x²-4, y = -(x + 2)²; в)y = √x + 1, y = 0, x = 4, x = 9 Задание №2. Вычислить объем тела вращения, полученный при вращении кривой: a) y = 3sinx, y = 0, x₁ = 0, x₂ = π/2 вокруг оси ОХ; б) y = 1 - √x, y₁ = 0, y2 = 1 вокруг оси ΟУ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание №1

a) y = x² - 3x - 4, y = x - 4

Смотри, тут всё просто: сначала находим точки пересечения графиков функций, а затем вычисляем площадь между ними с помощью интеграла.

  1. Находим точки пересечения:

    Решаем уравнение x² - 3x - 4 = x - 4

    x² - 4x = 0

    x(x - 4) = 0

    x₁ = 0, x₂ = 4

  2. Вычисляем площадь:

    Площадь равна интегралу от разности функций на отрезке [0, 4]:

    ∫₀⁴ |(x - 4) - (x² - 3x - 4)| dx = ∫₀⁴ | - x² + 4x| dx

    ∫₀⁴ (-x² + 4x) dx = [-x³/3 + 2x²]₀⁴ = (-64/3 + 32) - (0) = 32 - 64/3 = (96 - 64)/3 = 32/3

Ответ: 32/3

б) y = x² - 4, y = -(x + 2)²

  1. Находим точки пересечения:

    Решаем уравнение x² - 4 = -(x + 2)²

    x² - 4 = -(x² + 4x + 4)

    x² - 4 = -x² - 4x - 4

    2x² + 4x = 0

    2x(x + 2) = 0

    x₁ = 0, x₂ = -2

  2. Вычисляем площадь:

    Площадь равна интегралу от разности функций на отрезке [-2, 0]:

    ∫₋₂⁰ |-(x + 2)² - (x² - 4)| dx = ∫₋₂⁰ |-x² - 4x - 4 - x² + 4| dx

    ∫₋₂⁰ |-2x² - 4x| dx

    ∫₋₂⁰ (-2x² - 4x) dx = [-2x³/3 - 2x²]₋₂⁰ = (0) - (-2(-8)/3 - 2(4)) = - (16/3 - 8) = - (16/3 - 24/3) = - (-8/3) = 8/3

Ответ: 8/3

в) y = √(x + 1), y = 0, x = 4, x = 9

  1. Вычисляем площадь:

    Площадь равна интегралу от функции y = √(x + 1) на отрезке [4, 9]:

    ∫₄⁹ √(x + 1) dx

    Первообразная √(x + 1) это (2/3)(x + 1)^(3/2)

    [(2/3)(x + 1)^(3/2)]₄⁹ = (2/3)(10)^(3/2) - (2/3)(5)^(3/2)

    (2/3) * (10√10 - 5√5) ≈ (2/3) * (10 * 3.16 - 5 * 2.24) ≈ (2/3) * (31.6 - 11.2) ≈ (2/3) * 20.4 ≈ 13.6

Ответ: (2/3) * (10√10 - 5√5) ≈ 13.6

Задание №2

a) y = 3sinx, y = 0, x₁ = 0, x₂ = π/2 вокруг оси ОХ

  1. Вычисляем объем тела вращения:

    Объем равен интегралу π * (3sinx)² на отрезке [0, π/2]:

    V = π ∫₀^(π/2) (3sin(x))² dx = π ∫₀^(π/2) 9sin²(x) dx = 9π ∫₀^(π/2) sin²(x) dx

    Используем формулу понижения степени: sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2

    V = 9π ∫₀^(π/2) (1 - cos(2x)) / 2 dx = (9π/2) ∫₀^(π/2) (1 - cos(2x)) dx

    V = (9π/2) [x - (sin(2x) / 2)]₀^(π/2) = (9π/2) [(π/2 - (sin(π) / 2)) - (0 - (sin(0) / 2))] = (9π/2) * (π/2) = 9π²/4

Ответ: 9π²/4

б) y = 1 - √x, y₁ = 0, y₂ = 1 вокруг оси ΟУ

  1. Вычисляем объем тела вращения:

    Выразим x через y: y = 1 - √x => √x = 1 - y => x = (1 - y)²

    Объем равен интегралу π * x² на отрезке [0, 1]:

    V = π ∫₀¹ ((1 - y)²)² dy = π ∫₀¹ (1 - 2y + y²)² dy = π ∫₀¹ (1 - 4y + 6y² - 4y³ + y⁴) dy

    V = π [y - 2y² + 2y³ - y⁴ + (y⁵/5)]₀¹ = π [(1 - 2 + 2 - 1 + (1/5)) - (0)] = π * (1/5) = π/5

Ответ: π/5

ГДЗ по фото 📸