2 вариант 2) (4x)dx. функции f(x)=3x²-6x-2, график которой проходит через ограниченной графиками функций y=x²+2 и у=х+4. методом подстановки, одно на выбор: xy+x² = 3, y² + 5x(x + y) = 19. og3 x =3- = 3 2

Ответ: Решение представлено ниже.

Решение 2)

Сначала найдем интеграл:

\[\int_{1}^{4} (4x - \frac{1}{x^2}) dx\] \[= \int_{1}^{4} 4x dx - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx\] \[= 4 \int_{1}^{4} x dx - \int_{1}^{4} x^{-2} dx\] \[= 4 [\frac{x^2}{2}]_{1}^{4} - [\frac{x^{-1}}{-1}]_{1}^{4}\] \[= 4 [\frac{x^2}{2}]_{1}^{4} + [\frac{1}{x}]_{1}^{4}\] \[= 4 (\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{1})\] \[= 4 (\frac{16}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} - 1)\] \[= 4 (8 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} - \frac{4}{4})\] \[= 4 (\frac{16}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} - \frac{4}{4})\] \[= 4 (\frac{15}{2}) - \frac{3}{4}\] \[= \frac{60}{2} - \frac{3}{4}\] \[= 30 - \frac{3}{4}\] \[= \frac{120}{4} - \frac{3}{4}\] \[= \frac{117}{4}\]

Теперь решим систему уравнений:

\[\begin{cases} xy + x^2 = 3 \\ y^2 + 5x(x + y) = 19 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = \frac{3 - x^2}{x}\]

Подставим это во второе уравнение:

\[(\frac{3 - x^2}{x})^2 + 5x(x + \frac{3 - x^2}{x}) = 19\] \[\frac{(3 - x^2)^2}{x^2} + 5x(\frac{x^2 + 3 - x^2}{x}) = 19\] \[\frac{9 - 6x^2 + x^4}{x^2} + 5x(\frac{3}{x}) = 19\] \[\frac{9 - 6x^2 + x^4}{x^2} + 15 = 19\] \[\frac{9 - 6x^2 + x^4}{x^2} = 4\] \[9 - 6x^2 + x^4 = 4x^2\] \[x^4 - 10x^2 + 9 = 0\]

Пусть z = x^2, тогда:

\[z^2 - 10z + 9 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-10)^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64\] \[z_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9\] \[z_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Тогда:

\[x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\] \[x^2 = 1 \Rightarrow x_3 = 1, x_4 = -1\]

Найдем соответствующие значения y:

Для x = 3:

\[y = \frac{3 - 3^2}{3} = \frac{3 - 9}{3} = \frac{-6}{3} = -2\]

Для x = -3:

\[y = \frac{3 - (-3)^2}{-3} = \frac{3 - 9}{-3} = \frac{-6}{-3} = 2\]

Для x = 1:

\[y = \frac{3 - 1^2}{1} = \frac{3 - 1}{1} = 2\]

Для x = -1:

\[y = \frac{3 - (-1)^2}{-1} = \frac{3 - 1}{-1} = \frac{2}{-1} = -2\]

Решения системы уравнений: (3, -2), (-3, 2), (1, 2), (-1, -2).

Ответ: \(\int_{1}^{4} (4x - \frac{1}{x^2}) dx = \frac{117}{4}\). Решения системы уравнений: (3, -2), (-3, 2), (1, 2), (-1, -2).