Вариант 20 X 1. Найти производную: f (x) = 31,5x2 - 4x 2. Выполните действия с комплексными числами: 4. (-1+2i) + (4-3i) 5. (2+)(-3-2i) * 6. (-1-i) (3 + 2i) 3.Найти: (5х3 - 4x² + 7x4)dx 4. Вычислить: А + Са -16 2. lim(x² +5x-x²+4) 5. Найти предел: 1. lim x→-2 X+2 X-2 6. В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных.

1. Найти производную: f(x) = \(\frac{x^3}{3}\) - 1.5x² - 4x

Найдем производную функции f(x), используя правила дифференцирования:

• Производная степенной функции: \((x^n)' = nx^{n-1}\)
• Производная константы равна нулю.

Шаг 1: Находим производную каждого слагаемого:

• \((\frac{x^3}{3})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\)
• \((-1.5x^2)' = -1.5 \cdot 2x = -3x\)
• \((-4x)' = -4\)

Шаг 2: Собираем производную:

\(f'(x) = x^2 - 3x - 4\)

Ответ: \(f'(x) = x^2 - 3x - 4\)

2. Выполните действия с комплексными числами:

4. \((-1 + 2i) + (4 - 3i)\)

Складываем действительные и мнимые части отдельно:

\((-1 + 4) + (2i - 3i) = 3 - i\)

Ответ: \(3 - i\)

5. \((2 + i) - (-3 - 2i)\)

Раскрываем скобки и вычитаем:

\(2 + i + 3 + 2i = (2 + 3) + (i + 2i) = 5 + 3i\)

Ответ: \(5 + 3i\)

6. \((-1 - i) * (3 + 2i)\)

Умножаем комплексные числа:

\((-1 - i) * (3 + 2i) = -1 * 3 + (-1) * 2i + (-i) * 3 + (-i) * 2i = -3 - 2i - 3i - 2i^2\)

Помним, что \(i^2 = -1\), следовательно:

\(-3 - 5i - 2(-1) = -3 - 5i + 2 = -1 - 5i\)

Ответ: \(-1 - 5i\)

3. Найти: \(\int (5x^3 - 4x^2 + 7x^4) dx\)

Интегрируем каждый член отдельно:

\(\int 5x^3 dx - \int 4x^2 dx + \int 7x^4 dx\)

\(= 5 \int x^3 dx - 4 \int x^2 dx + 7 \int x^4 dx\)

Используем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)

Применяем правило:

\(5 \cdot \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 7 \cdot \frac{x^5}{5} + C\)

Ответ: \(\frac{5}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{7}{5}x^5 + C\)

4. Вычислить: \(A_{10}^3 + C_8^4\)

Вычисляем \(A_{10}^3\) (размещение) и \(C_8^4\) (сочетание):

\(A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\)

\(C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\)

Складываем результаты:

\(720 + 70 = 790\)

Ответ: 790

5. Найти предел:

1. \(\lim_{x \to -2} \frac{x^4 - 16}{x + 2}\)

Разложим числитель как разность квадратов:

\(\lim_{x \to -2} \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x + 2}\)

Сократим \((x + 2)\):

\(\lim_{x \to -2} (x - 2)(x^2 + 4) = (-2 - 2)((-2)^2 + 4) = -4(4 + 4) = -4 \cdot 8 = -32\)

Ответ: -32

2. \(\lim_{x \to -2} (x^4 + 5x - x^2 + 4)\)

Подставим \(x = -2\) в выражение:

\((-2)^4 + 5(-2) - (-2)^2 + 4 = 16 - 10 - 4 + 4 = 6\)

Ответ: 6

6. В партии из 15 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 2 стандартных.

Используем формулу для вероятности в комбинаторике:

\(P = \frac{C_3^2 \cdot C_{12}^2}{C_{15}^4}\)

где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Вычислим значения:

\(C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3\)

\(C_{12}^2 = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\)

\(C_{15}^4 = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\)

Подставим в формулу:

\(P = \frac{3 \cdot 66}{1365} = \frac{198}{1365} = \frac{66}{455}\)

Ответ: \(\frac{66}{455}\)